Формирование понятий равенства, неравенства, уравнения в традиционной и вариативной системах обучения

Важно помнить, что обсуждение данного материала  следует начинать не до того, как  дети собираются чертить схемы, а после того, как схемы к формулам готовы [Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., 1999].

Традиционно же все делается наоборот: сначала дети говорят, обсуждают, как выполнять  задание, а потом его делают, а  в этой системе обучения нужно  сначала сделать (осуществить практическое действие), а затем обсуждать, как это сделали и как научить других делать то, что умеешь делать сам. Повторю, это коренное и принципиальное отличие подхода к обучению в системе РО.

Итогом работы над данной темой является составление справочника ошибок, в который как раз включаются все возможные ошибки, которые были или могут быть (!) у детей. Фиксируя их в справочнике любым удобным для детей способом, необходимо каждый раз возвращаться к вопросам о происхождении этих ошибок, а также к способам их обнаружения и исправления, что является необходимым этапом дальнейшего предупреждения этих ошибок [Пышкало А.М., 1974].

1.2.4. Переход от неравенства к равенству  и наоборот

 

 

Основная задача в том, чтобы дети смогли найти  три способа уравнивания [Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., 2000]:

1) путем увеличения  одной (меньшей) величины до  ее равенства с другой (большей), т.е. с помощью сложения (Схема 1.3.):

 

 

 

 

             А                                                                                А

 

                В                        После уравнивания             В           С

 

                   А>В                                                     А = В + С

Схема 1.3.

Увеличение  одной величины до ее равенства с другой

2) путем уменьшения  одной (большей) до ее равенства  с другой меньшей, т.е. с помощью вычитания (Схема 1.4.):

                           А                   А

 

                      В                      После уравнивания                       В        С

   

                   А>В                                                     А – С = В

Схема 1.4.

Уменьшение  одной величин до ее равенства  с другой

 3) путем уменьшения одной  и увеличения другой на одну и ту же величину (Схема 1.5.):

      А               А

                 В                       После уравнивания                С   С         К

                           А>В           В         К

     А  – К = В + К

Схема 1.5.

Уменьшение  одной величины и увеличение другой на одну и ту же величину

Третий способ предполагает свободное владение первыми  двумя.

Итак, два первых способа уравнивания величин  являются основными.

Постановку  задачи, требующей уравнивания величин, начнем со сказочного сюжета о Незнайке [Аргинская И.И., 2006].

Прочитайте  ту часть сказки, в которой рассказывается о том, как Винтик и Шпунтик  изобрели автомобиль, который работал  на газированной воде с сиропом (текст приведен в учебнике)

Результатом обсуждения возможных причин остановки машины станет постановка задачи, требующей уравнивания величин.

Нужно в бак  налить столько сиропа, сколько его  не хватает, чтобы бак стал полным.

Налейте воды (подкрашенной!) в две банки так, чтобы одна из них была полная (но не до самого края, чтобы можно было при необходимости  долить немного воды), а вторая заполнена примерно на 1/3. Объясните, сколько сиропа должно быть и сколько осталось. Условие работы “двигателя” – полная банка.

Теперь вместе с детьми переведем эту задачу на язык математики:

Есть две  неравные величины (объем воды в банках). Изобразим их, обозначив буквами (например А и В), и запишем формулу (Схема 1.6.):

 

 

 

 

 

 

                       А

 

        В

                                              или                  А

А>В           В

Схема 1.6.

Схематичное решение задачи

В сюжетной задаче о баке нам нужно узнать, сколько  сиропа нужно добавить в неполную банку, чтобы машина снова могла  ехать. Эта же проблема на языке математики выглядит так: нужно уровнять величины так, чтобы меньшая величина В  стала равна большей величине А.

Как это можно  сделать?

Сначала дети выполняют  практическое действие, пытаясь в  неполную банку долить воды до того же уровня, что и в первой банке, т.е. долить воды столько, сколько ее не хватало до полной банки. Проще  говоря, проблема сначала выглядит так: что нужно сделать, чтобы в неполной банке воды стало столько же, сколько в полной банке? Ответ не заставит себя ждать, и дети тут же скажут, что воду нужно долить. Вы непременно выполняете практическое действие, доливая воды значительно меньше, чем нужно (или, наоборот, больше).

Если дети скажут, что этого мало, то долейте заметно  больше, чем нужно (или отлейте  больше, чем нужно). Именно тогда  дети и смогут осмыслить то, что  речь идет об определенном количестве – ни больше, ни меньше.

Возникает новая задача: какое количество воды нужно долить, чтобы стало поровну?

Невозможность восстановить прежний объем есть основание для рождения у детей  о метках на обеих банках.

Поскольку дети уже умеют изображать величины, то предложите им сначала изобразить данные величины (объемы воды или количество воды) с помощью схемы, обозначив их буквами.

Затем, запишем  формулы: А>B или B<A.

Теперь ответ  на вопрос (сколько же нужно долить воды?) может быть показан на банках и на схеме: 1) на банках: от метки  на одной банке до метки на другой или с помощью двух меток на одной банке, если вторая метка прикреплена детьми при сравнении (Рис. 1.3.):

 

                          

         Метка, которую добавили

   Метка                        дети, на том же уровне, что

        и  на первой банке

Рис. 1.3.

Изображение количества воды, которое необходимо долить

 

На схеме  эту же разность (разницу) дети могут  показать так (Схема 1.7.):

 

 

 

 

                                 это тот объем воды, который  нужно долить

    А                           в банку с меньшим объемом (В).

                                              Помните! Не банка В, а объем  воды

                          В                в банке – это В, банки  то одинаковые.  

Схема 1.7.

Схематичное изображение  того же количества воды, которое необходимо долить

Показать то, сколько нужно долить воды, –  это то же самое, что узнать, на сколько  одна величина больше другой или меньше другой, – А>В (на С). Чтобы узнать эту новую величину С, нужно от большей величины отнять меньшую, т.е. С = А – В.

Значит, если к  величине В добавить разницу, а “настоящие математики” говорят “разность”, – величину С, равную А – В, то получится величина, равная А.

А = В + С   (1)  или   А = В + (А – В)   (2)

        С

Найти эту разницу, т.е. разность между величинами и записать формулу (2) дети смогут лишь после введения знака “минус”.

Чтобы изменить отношение между величинами, т.е. из неравенства сделать равенство  или, наоборот, из равенства сделать  неравенство (но таких заданий мало, т.к. они являются обратными, восстанавливающими неравные величины из равных, поэтому их желательно дополнить), нужно будет одну из двух величин либо увеличить (+), либо уменьшить (–), а может быть уменьшить одну и увеличить другую, причем на сколько уменьшают одну, на столько же увеличивают другую.

Очень важно, чтобы  дети понимали: когда они от неравенства  переходят к равенству, то отнимать или добавлять нужно не сколько  угодно, а определенное количество, соответствующее разности этих величин.

Работа с  графическими и знаковыми моделями, т.е. схемой и формулой, является основным звеном в цепи решения учебной задачи.

Отношение неравенства  однородных величин (А<В) и операция сложения (А+В=С) обладают следующими свойствами:

Каковы бы ни были А и В, имеет место одно и только одно из трех отношений: или А=В, или А<В, или В<А.

Если А<В  и В<С, то А<С (транзитивность отношений  “меньше”, “больше”).

Для любых двух величин А и В существует однозначно определенная величина С=А+В.

А+В = В+А (комутативность сложения).

А+(В+С) = (А+В)+С (ассоциативность сложения).

А+В >А (монотонность сложения).

Если А>В, то существует одна и только одна величина С, для которой В+С=А (возможность  вычитания).

Изучение свойств  отношений, о которых шла речь, открывает перед ребенком новые  возможности.

1.2.5. Как из части составить целое

 

 

Система РО.

Введение об отношении частей и целого понятия  обусловлено, прежде всего необходимостью обучения ребенка решению текстовых  задач (прямых и косвенных) алгебраическим способом, т.е. на основе составления уравнений [Воронцов А.Б., 1998]. Для этого ребенок должен научится изображать это отношение с помощью схем, опираясь на которые он сможет описать это особое отношение величин, не зависящее от их конкретного числового значения, в виде буквенных формул. Сформировав это понятие, дети приобретают умение выражать целое через части и части через целое (Схема 1.8.):

 И     

Схема 1.8.

Изображение части  через целое и целого через  части, где кружками обозначено целое, а треугольниками – части.

 

 Графической  моделью этого отношения могут  служить разные геометрические  фигуры (круг, прямоугольник, треугольник  и др.), но наиболее удобным и простым способом изображения этого отношения является отрезок (Схема 1.9.).

 

 

 

Схема 1.9.

Изображение части  и целого с помощью отрезка

Рассматривается и буквенно-графическая модель(Схема 1.10):

 

Схема 1.10.

Буквенно-графическая модель изображения отношений целого и частей, используемая в традиционной школе

Всем хорошо знакомые “лучики”, используемые традиционной школой для изображения состава числа.

Введение знаков для обозначения целого и частей дает ребенку возможность относительность этих понятий. Во-первых, дети должны понять, что пока над величиной не производишь никакого действия – нельзя установить, является она (величина) частью или целым, т.е. одна и та же величина может быть частью по отношению к одной величине и она же является целым по отношению к другой.

Например:

 

Схема. 1.11.

Отношения целого и частей

Теперь величину В разобьем еще на 2 части К  и Д, по отношению к которым  В – целое.

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема 1.12.

Отношения целого и частей

Величина В по отношению к А  является частью, а по отношению к величинам К и Д является целым. Наложение знаков       и       , друг на друга позволяет лучше увидеть относительность этого понятия.

Итак, понятие  “целое” и “часть” – это  относительные понятия; основное свойство этого отношения: целое не может быть меньше части, или часть не может быть больше целого. Сравнивать части между целым и остальными частями [Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., 1999].

Умение изображать графически и описывать с помощью  формул отношение частей и целого даст возможность решать целый класс текстовых задач с буквенными данными путем составления уравнений. Решив таким образом задачу, ребенок вместо букв подбирает подходящие числа и тем самым осознает, какова область допустимых значений букв не только по отношению к выполнимости арифметического действия, но и по отношению к реальности сюжета и к собственному опыту оперирования с числом. Такой подход позволяет учителю обнаружить “слабые” места у детей и незамедлительно приступить к коррекции.

Если же задача предложена с числовыми данными, то прежде чем ее решать, необходимо “восстановить”, какой она могла быть до того, как вместо букв дети из другого класса (или автор учебника) подобрали (придумали), как им кажется, подходящие числа. Это значит, что, прежде чем приступить к решению задачи, нужно установить, говоря языком математики, входят ли числовые данные в область допустимых значений по отношению к реальности сюжета. Другими словами, дети должны оценить, соответствуют ли данные числа смыслу задачи, ее сюжету, а затем заменить числа буквами и, решив задачу, вместо букв данные числа. Восстановление исходной (буквенной формы задания) текстовой задачи ставит перед детьми новую проблему: заменять одинаковые числа одинаковыми буквами или разными? Ответ на такой вопрос с неизбежностью потребует более глубокого осмысления текста задачи и тех понятий, которые составляют ее смысл.