Лекции по «Математическим методам в оценке»

№ 4. Функции сложного процента

1. Будущая стоимость денежной  единицы FV – показывает до какой суммы дорастет одна денежная единица за n периодов, депонированная под i процентов годовых, при условии, что проценты начисляются в конце каждого периода и добавляются к уже накопившейся сумме. Для расчетов значение функции следует умножить на количество денежных единиц. FV =  
где i – годовая процентная ставка, n – количество лет, P – депонированная сумма денег.  
При условии ежемесячных начислений годовую процентную ставку в формуле надо разделить на 12, а количество периодов умножить на 12. Тогда формула принимает вид: FV = (1 + i/12)12n x P  
Чем чаще производятся начисления процентов, тем больше итоговая сумма при том же уровне годовой ставки.  
2. Накопление единиц за период (или будущая стоимость суммы единиц FV) – показывает каким будет накопительный счет через n периодов, если в конце каждого периода к накопленной сумме добавлять одну денежную единицу при условии начисления i процентов за период.  
Формула для одной денежной единицы:

   
Полученное значение функции остается умножить на величину периодических взносов.  
3. Фактор фонда возмещения (функция обратная ко второй) – показывает сумму равновеликих периодических платежей PMT, которыми можно за n периодов накопить определенную сумму.  
 
Итак, с помощью второй функции находим, какая сумма накопится при равновеликих периодических добавлениях, а с помощью третьей функции – какими должны быть периодические добавления на счет, чтобы накопить нужную сумму.  
4. Текущая стоимость реверсии (текущая стоимость единицы) PV – показывает текущую (сегодняшнюю) стоимость 1 денежной единицы, которая будет получена через определенное количество периодов. Или иначе: какую сумму надо депонировать сегодня, чтобы через n периодов она за счет процентов доросла до одной единицы.

 
Эта функция – обратная к первой. Здесь i – ставка дисконта (дохода) означает, что если сегодня какую-то сумму  денег вложить в дело с годовой  ставкой дохода i, то через определенное число периодов n она бы выросла. Поэтому будущую номинальную  сумму денег для приведения к  сегодняшней оценке надо в той  же пропорции уменьшать (дисконтировать).  
Пересчет будущей стоимости в текущую стоимость называется дисконтированием, а используемая для этого процентная ставка i называется ставкой дисконта. В других дисциплинах текущая стоимость может называться приведенной, настоящей или современной стоимостью.  
5. Текущая стоимость обычного аннуитета ΣPV .  
Аннуитет – серия равновеликих платежей, производимых через равные промежутки времени.  
 
Различают обычный аннуитет (приведенная формула), когда платежи производятся в конце каждого периода, и авансовый аннуитет, когда платежи производятся в начале каждого периода. Для расчета текущей стоимости авансового аннуитета в приведенной формуле количество периодов надо уменьшить на один, а в конце к общей дроби добавить единицу и полученное значение умножить на сумму платежа.  
Здесь дело в том, что первый платеж, поступивший в начале периода, не надо дисконтировать, поэтому число периодов для дисконтирования уменьшается на один, а первый платеж просто прибавляется без дисконтирования.  
6. Взнос на амортизацию денежной единицы (или ипотечная постоянная) – показывает равновеликие периодические платежи PMT, необходимые для полной амортизации кредита вместе с начисляемыми процентами. Эта функция – обратная к пятой.  
 
Очень удобно вести расчеты, связанные с функциями сложного процента, с помощью специального финансового калькулятора, который имеет дополнительные кнопки этих функций и очень упрощает процедуру расчетов. При неимении финансового калькулятора проще всего пользоваться финансовыми таблицами, которые имеются в большинстве учебников по финансовой математике, а также продаются отдельными сборниками.  
Построение таблиц может быть различным, но наиболее распространенным является комплект, в котором для каждого определенного значения процентной ставки составлена отдельная таблица. Обычно для каждой годовой процентной ставки составляются таблицы при условии ежегодного и при условии ежемесячного начисления процентов. В них по вертикали расположены функции сложного процента, а по горизонтали – периоды (годы). На пересечении дано значение конкретной функции для определенного периода. Все значения функций даны для одной денежной единицы, по сути это коэффициенты функций, которые при расчетах остается только умножить на денежную сумму.