Лекции по «Математическим методам в оценке»

Министерство  образования и науки РФ

Ростовский  государственный строительный университет

ИНСТИТУТ  ПОДГОТОВКИ И ПЕРЕПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

 

 

 

Конспект

По курсу «Математические методы в оценке»

 

 

 

Выполнила: ст.гр.ОСП-30

 Бондаренко А.О.

Проверила: Симионова Н.Е

 

 

 

Ростов-на-Дону

2013 г.

№ 1. Методика парного  и многофакторного регрессионного анализа

Парная регрессия - регрессия между двумя переменными у и х, т.е. модель вида: у = f (x)+E, где у- зависимая переменная (результативный признак); x - независимая, обьясняющая переменная (признак-фактор); E- возмущение, или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель по уравнению линейной регрессии. Параметры этого уравнения оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции.

где у_i- статические значения зависимой переменной; f (х) - теоретические значения зависимой переменной, рассчитанные с помощью уравнения регрессии.

Экономический смысл  параметров уравнения линейной парной регрессии. Параметр b показывает среднее изменение результата у с изменением фактора х на единицу. Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот.

То есть МНК заключается  в том, чтобы определить а и  а, так, чтобы сумма квадратов  разностей фактических у и у. вычисленных по этим значениямa₀ и а1 была минимальной:

Рассматривая эту сумму  как функцию a₀ и a₁ дифференцируем ее по этим параметрам и приравниваем производные к нулю, получаем следующие равенства:

n - число единиц совокупности (заданны параметров значений x и у). Это система «нормальных» уравнений МНК для линейной функции (y_x)

Расчет параметров уравнения линейной регрессии:

 , a = y – bx

Нахождение уравнения  регрессии по сгруппированным данным. Если совокупность сгруппирована по признаку x, для каждой группы найдены средние значения другого признака у, то эти средние дают представление о том, как меняется в среднем у в зависимости от х. Поэтому группировка служит средством анализа связи в статистике. Но ряд групповых средних у_x имеет тот недостаток, что он подвержен случайным колебаниям. Они создают колебания у_x отражающие не закономерность данной зависимости, а затушевывающий ее «шум».

Групповые средние хуже отражают закономерность связи, чем уравнение  регрессии, но могут быть использованы в качестве основы для нахождения этого уравнения. Умножая численность  каждой группы n_ч на групповую среднюю уч мы получим сумму у в пределах группы Суммируя эти суммы, найдем общую сумму у. Несколько сложнее с суммой ху. Если при сумме ху интервалы группировки малы, то можно считать значение x для всех единиц в рамках группы одинаковым Умножив на него сумму у, получим сумму произведений x на у в рамках группы и, суммируя эти суммы, общую сумму xу. Численность n_x, здесь играет такую же роль, как взвешивание в вычислении средних.

Множественная (многофакторная) регрессия. Оценка существенности связи

Множественная регрессия - регрессия между переменными у и x₁,x₂,…,x_m. Т. е. модель вида: у = f (x₁,x₂,…,x_m)+E

где у - зависимая переменная (результативный признак);

x₁,x₂,…,x_m - независимые, объясняющие переменные (признак-фактор); Е- возмущение, или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели.

Множественная регрессия  применяется в решении проблем  спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в  макроэкономических расчетах. 

Цель множественной  регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Основные типы функций, используемые при количественной оценке связей: линейная функция: у = а₀ + a₁х₁ + а₂х₂,+ ... + a_mx_m.Параметры a_1, а_2, a_m, называются коэффициентами «чистой» регрессии и характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне; нелинейные функции: у=ах₁^b1 х₂^b2....x_m^bm- - степенная функция; b₁, b₂..... b_m - коэффициенты эластичности; показывают, насколько % изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на 1 % и при неизменности действия других факторов.

 - гипербола;

 - экспонента.

Отбор факторов при  построении множественной регрессии. Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией может привести к нежелательным последствиям - система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

3. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Методы построения уравнения множественной регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии к разным методам:

1) метод исключения (отсев факторов из полного его набора);

2) метод включения (дополнительное введение фактора);

3) шаговый регрессионный анализ (исключение ранее введенного фактора).

Каждый из этих методов  по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты.

№ 2. Прогнозирование  показателей с учетом циклических  и сезонных колебаний

          Прогнозирование показателей с учетом циклических колебаний

           Колебания, отражающие конъюнктурные циклы перехода от более или менее благоприятной рыночной ситуации к кризису, депрессии, оживлению и снова к благоприятной ситуации, называются циклическими колебаниями. Существуют различные классификации циклов, их последовательности и продолжительности. Например, выделяются двадцатилетние циклы, обусловленные сдвигами в воспроизводственной структуре сферы производства;циклы Джанглера (7 – 10 лет), проявляющиеся как итог взаимодействия денежно-кредитных факторов; циклы Катчина (3 – 5 лет), обусловленные динамикой оборачиваемости запасов; частные хозяйственные циклы (от 1 до 12 лет), обусловленные колебаниями инвестиционной активности.

          Методика выявления цикличности заключается в следующем. Отбираются рыночные показатели, проявляющие наибольшие колебания, и строятся их динамические ряды за возможно более продолжительный срок. В каждом из них исключается тренд, а также сезонные колебания. Остаточные ряды, отражающие только конъюнктурные или чисто случайные колебания, стандартизируются, т.е. приводятся к одному знаменателю. Затем рассчитываются коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь показателей. Многомерные связи разбиваются на однородные кластерные группы. Нанесенные на график кластерные оценки должны показать последовательность изменения основных рыночных процессов и их движение по фазам конъюнктурных циклов.

 

          Прогнозирование показателей с учетом сезонных колебаний

          Сезонные колебания – повторяющиеся из года в год изменения показателя в определенные промежутки времени. Наблюдая их в течение нескольких лет для каждого месяца (или квартала), можно вычислить соответствующие средние, или медианы, которые принимаются за характеристики сезонных колебаний.

          При анализе сезонных колебаний обычно рассчитывается индекс сезонности, который используется для прогнозирования исследуемого показателя.

          В самой простой форме индекс сезонности рассчитывается как отношение среднего уровня за соответствующий месяц к общему среднему значению показателя за год (в процентах). Все другие известные методы расчета сезонности различаются по способу расчета выровненной средней.

          Большинство методов предполагает использование компьютера. Относительно простым методом расчета индекса сезонности является метод центрированной скользящей средней.

          Другим методом расчета индексов сезонности, часто используемым в различного рода экономических исследованиях, является метод сезонной корректировки, известный в компьютерных программах как метод переписи (Census Method II). Он является своего рода модификацией метода скользящих средних. Специальная компьютерная программа элиминирует трендовую и циклическую компоненты, используя целый комплекс скользящих средних. Кроме того, из средних сезонных индексов удалены и случайные колебания, поскольку под контролем находятся крайние значения признаков.

 

№ 3. Виды средних величин в статистике

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении  данного признака.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.

Статистическая обработка методом  средних величин заключается  в замене индивидуальных значений варьирующего признака   некоторой уравновешенной средней величиной  .

основному свойству средних величин: сумма индивидуальных значений признака равна сумме средних величин.

Это свойство еще раз подчеркивает, что средняя величина является обобщающей характеристикой всей статистической совокупности.

Средние величины широко применяются  в различных отраслях знаний. Особо  важную роль они играют в экономике  и статистике: при анализе, планировании, прогнозировании, при расчете нормативов и при оценке достигнутого уровня. Средняя всегда именованная величина и имеет ту же размерность, что  и отдельная единица совокупности.

В статистике выделяют несколько  видов средних величин:  
1. По наличию признака-веса:  
      а) невзвешенная средняя величина;  
      б) взвешенная средняя величина.  
2. По форме расчета:  
     а) средняя арифметическая величина;  
     б) средняя гармоническая величина;  
     в) средняя геометрическая величина;  
     г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.  
3. По охвату совокупности:  
     а) групповая средняя величина;  
     б) общая средняя величина. 

Средние величины различаются  в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:  
Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.  
Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.  
По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:  
,  
где  - среднее значение исследуемого явления;  
k – показатель степени средней;  
x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;  
i –i-тый элемент совокупности;  
n – число наблюдений (число единиц совокупности).  
При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1): 

 

 
                                                                                             Таблица 1.