Математические методы

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО  Российский заочный институт легкой и текстильной промышленности

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Экономико – математические методы»

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Выполнила: студентка  группы 080502СП

Мухарямова  А.Р.

7 вариант

Шифр 7409027С 
 
 

      Задача  1

      Запишем исходные данные:

      Выпуск  пальто модели I (не более), ед. 2000

      Какое количество изделий каждого вида необходимо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль.

      При решении задачи студент должен выполнить:

      1) на основании данных таблицы  построить модель задачи линейного  программирования;

      2) Решить задачу графическим или  симплексным методом;

      3) дать развернутое экономическое  истолкование полученного решения. 

      Решение 

     Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

     Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 13.9x₁+12.5x₂+15.2x₃ при следующих условиях-ограничений.

     3.94x₁+2.48x₂+2.95x₃≤25600

     2.6x₁+3.1x₂+3.2x₃≤22900

     x₁≤2000

     Для построения первого опорного плана  систему неравенств приведем к системе  уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

     В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆.

     3.94x₁ + 2.48x₂ + 2.95x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 25600

     2.6x₁ + 3.1x₂ + 3.2x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 22900

     1x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 2000

     Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений  имеет вид: 

     Базисные  переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

     Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

     x₄, x₅, x₆,

     Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

     X1 = (0,0,0,25600,22900,2000)

     Базисное  решение называется допустимым, если оно неотрицательно. 

 

     Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

     Итерация  №0.

     1. Проверка критерия  оптимальности.

     Текущий опорный план неоптимален, так как  в индексной строке находятся  отрицательные коэффициенты.

     2. Определение новой  базисной переменной.

     В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

     3. Определение новой  свободной переменной.

     Вычислим  значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

     и из них выберем наименьшее: 

     Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

     Разрешающий элемент равен (3.2) и находится  на пересечении ведущего столбца  и ведущей строки. 

 

     4. Пересчет симплекс-таблицы.

     Формируем следующую часть симплексной  таблицы.

     Вместо  переменной x₅ в план 1 войдет переменная x₃

     Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3.2

     На  месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

     В остальных клетках столбца x₃ плана 1 записываем нули.

     Таким образом, в новом плане 1 заполнены  строка x₃ и столбец x₃ .

     Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

     Для этого выбираем из старого плана  четыре числа, которые расположены  в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

     НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

     СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий  элемент (3.2), А и В - элементы старого  плана, образующие прямоугольник с  элементами СТЭ и РЭ.

     Представим  расчет каждого элемента в виде таблицы: 

 

     После преобразований получаем новую таблицу: 

 

     Итерация  №1.

     1. Проверка критерия  оптимальности.

     Текущий опорный план неоптимален, так как  в индексной строке находятся  отрицательные коэффициенты.

     2. Определение новой  базисной переменной.

     В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

     3. Определение новой  свободной переменной.

     Вычислим  значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

     и из них выберем наименьшее: 

     Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

     Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и  ведущей строки.