Кибернетический подход к описанию систем

Агрегативные системы

Существует класс больших  систем, которые ввиду их сложности  не могут быть формализованы в  виде математических схем одиночных  агрегатов, поэтому их формализуют  некоторой конструкцией из отдельных  агрегатов Аn, n=1,…NA , которую назовѐм агрегативной системой или А-схемой. Для описания некоторой реальной системы S в виде А-схемы необходимо иметь описание как отдельных агрегатов Аn, так и связей между ними.

Для построения агрегата вводятся предположения о закономерностях  функционирования А-схем, в соответствии реальной системой:

1. взаимодействие между  А-схемой и внешней средой Е, а также между отдельными агрегатами внутри системы S осуществляется при передаче сигналов, причѐм взаимные влияния, имеющие место вне механизма обмена сигналами, не учитываются;

2. для описания сигнала  достаточно некоторого конечного  набора характеристик; 

3. элементарные сигналы  мгновенно передаются в А-схеме  независимо друг от друга по  элементарным каналам; 

4. к входному контакту  любого элемента А-схемы подключается  не более чем один элементарный  канал, к выходному контакту  — любое конечное число элементарных  каналов при условии, что ко входу одного и того же элемента А-схемы направляется не более чем один из упомянутых элементарных каналов.

Рассмотрим А-схему, структура которой приведена на рис. 3. Функционирование А-схемы связано с переработкой информации, передача последней на схеме показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в А-схеме, делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, не являющихся элементами рассматриваемой схемы, а внутренняя информация вырабатывается агрегатами самой А-схемы. Обмен информацией между А-схемой и внешней средой Е происходит через агрегаты, которые называются полюсами А-схемы. При этом различают входные полюсы А-схемы, представляющие собой агрегаты, на которые поступают х-сообщения (агрегаты А1, А2, А6), и выходные полюсы А-схемы, выходная информация которых является y- сообщениями (агрегаты А1 А3, А4, А5, А6). Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются внутренними.

Взаимодействие А-схемы  с внешней средой Е рассматривается как обмен сигналами между внешней средой Е и элементами А-схемы. В соответствии с этим внешнюю среду Е можно представить в виде фиктивного элемента системы Ао, вход которого содержит I0 входных контактов, а выход — J0 выходных контактов. Сигнал, выдаваемый А-схемой во внешнюю среду Е, принимается элементом Ао как входной сигнал, состоящий из элементарных сигналов х1(0)(t), х2(0)(t), ..., хI0(0)(t).

Сигнал, поступающий в  А-схему из внешней среды Е, является выходным сигналом элемента Ао и состоит из элементарных сигналов y1(0)(t), y2(0)(t), ..., yI0(0)(t).

Таким образом, каждый Аn (в том числе и Ао) как элемент А-схемы в рамках принятых предположений о механизме обмена сигналами достаточно охарактеризовать множеством входных контактов Х1(n), Х2(n) ,..., ХIn(n) которое обозначим {Хi(n)}, и множеством выходных контактов Y1(n), Y2(n) ,..., YJ(n) которое обозначим {Хj(n)}, где n=0,…NA. Полученная пара множеств {Хi(n)}, {Хj(n)} является математической моделью элемента Аn используемого для формального описания сопряжения его с прочими элементами А-схемы и внешней средой Е.

Если в А-схеме к  контакту Хi(n) не подключен никакой элементарный канал, то оператор R не определен на этом контакте Хi(n). Оператор R называется оператором сопряжения элементов (агрегатов) в А-схему. Совокупность множеств {Хi(n)}, {Хl(k)} и оператор R образуют схему сопряжения элементов в систему S. Оператор сопряжения R можно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов (агрегатов) n и столбцов с номерами контактов i располагаются пары чисел k, l, указывающие номер элемента k и номер контакта l, с которым соединен контакт Хi(n).

Таким образом, использование обобщенной типовой математической схемы моделирования, т. е. А- схемы, в принципе не отличается от рассмотренных ранее D-, F-, Р-, N-, Q-схем. Для частного случая, а именно для кусочно-линейных агрегатов, результаты могут быть получены аналитическим методом. В более сложных случаях, когда применение аналитических методов неэффективно или невозможно, прибегают к имитационному методу, причем представление объекта моделирования в виде А-схемы может являться тем фундаментом, на котором базируется построение имитационной системы и ее внешнего и внутреннего математического обеспечения. Стандартная форма представления исследуемого объекта в виде А-схемы приводит к унификации не только алгоритмов имитации, но и к возможности применять стандартные методы обработки и анализа результатов моделирования системы S.

Виды агрегатов 

Агрегат представляет собой  математическую схему весьма общего вида, частными случаями которой являются функции алгебры логики, релейно-контактные схемы, конечные автоматы, всевозможные классы систем массового обслуживания, динамические системы, описываемые  обыкновенными дифференциальными  уравнениями и некоторые другие объекты. С точки зрения моделирования  агрегат выступает как достаточно универсальный переработчик информации – он воспринимает входные и управляющие  сигналы и выдает выходные сигналы.

Все процессы функционирования реальных сложных систем по существу носят случайный характер, по этому в моменты поступления входных сигналов происходит регенерация случайного процесса. То есть развитие процессов в таких системах после поступления входных сигналов не зависит от предыстории.

Автономный агрегат - агрегат который не может воспринимать входных и управляющих сигналов.

Неавтономный агрегат - общий  случай.

Частные случаи агрегата:

Кусочно-марковский агрегат - агрегат процессы в котором являются обрывающими марковскими процессами. Любой агрегат можно свести к марковскому.

Кусочно-непрерывный агрегат - в промежутках между подачей  сигналов функционирует как автономный агрегат.

Кусочно-линейный агрегат. dсv(t)/dt = F(v)(сv).

Достаточно считать, что  на агрегат не поступают управляющие  сигналы u, а поступают лишь входные сигналы x (не ограничивает общности, в качестве x можно рассматривать входной сигнал в широком смысле ()). Итак, мы рассматриваем агрегат как объект, который в каждый момент времени tхарактеризуется внутренним состоянием z(t), имеет вход и выход. На вход агрегат в изолированные моменты времени могут поступать сигналы, с выхода могут сниматься выходные сигналы. Класс кусочно-линейных агрегатов выделяется с помощью конкретизации структуры множеств Z,X,Y а также операторов H и G.

Представление реальных систем в виде агрегатов неоднозначно, вследствие неоднозначности выбора фазовых  переменных.

Агрегативный подход к техническим системам, вообще говоря, восходит, с одной стороны, к представлению системы как «черного ящика», а с другой — к представлению траектории в n-мерном пространстве при случайных воздействиях. В явном или неявном виде предполагается, что есть возможность описать техническую систему системой уравнений и дать ее решение. Это особенно необходимо при решении задач управления и для частных случаев выполнимо, причем вводятся упрощения и допущения, и система рассматривается как сложная и вероятностная.

Кусочно-линейный агрегат.

В 60-х годах Н. П. Бусленко и И. Н. Коваленко ввели класс моделей сложных систем, названных ими агрегативными. Основным элементом построения таких моделей был кусочно-линейный агрегат

(КЛА). Эти модели обладают рядом привлекательных свойств, позволяющих использовать их в рамках общей схемы исследования сложных систем. В работах отечественной научной школы интенсивно исследовались их структурные и поведенческие свойства, создана имитационная система АИС (агрегативная имитационная система), базирующаяся на понятии агрегативной модели. Будем рассматривать приводимые ниже определения и конструкции в форме, максимально приближенной к их программной реализации.

Дадим сначала определение кусочно=линейный агрегата (КЛА). КЛА относится к классу объектов, которые принято изображать в виде преобразователя (рис. 4.3.1), функционирующего во времени t є Т = [0, ∞) и способного воспринимать входные сигналы х со значениями из некоторого множества X, выдавать выходные сигналы у со значениями из множества Y и находиться в каждый момент времени в некотором состоянии z из множества Z.

Класс КЛА отличает специфика  множеств X, Y, Z, допустимые формы входных и выходных сообщений (т. е. функций х (t) и у (t), t є Т), траекторий z (t), t є Т, а также способ преобразования входного сообщения в выходное. Приступим к указанной выше конкретизации КЛА.

Прежде всего отметим, что динамика КЛА носит ―событийный‖ характер. В КЛА могут происходить события двух видов: внутренние и внешние. Внутренние заключаются в достижении траекторией КЛА некоторого подмножества Z* є Z состояний; внешние – в поступлении входного сигнала.

Между событиями состояние  КЛА изменяется детерминированным  образом. Каждому состоянию z ставится в соответствие величина *=*(*), трактуемая как потенциальное время до наступления очередного внутреннего события. Cостояние КЛА в момент t* – наступление события является случайным.

В момент t* наступления внутреннего события, – выдается выходной сигнал у*, содержание которого зависит лишь от z*. (В частности, выходной сигнал может быть и пустым, т. е. не выдаваться). После случайного скачка *(*) вновь определяется время до наступления внутреннего события.

Рассмотрим теперь момент t** наступления внешнего события, связанного с поступлением входного сигнала. Тогда состояние КЛА в момент t** является случайным, зависящим лишь от х и z**. В момент t**, выдается выходной сигнал у **, содержание которого определяется х и z**.

(Условимся считать, что  если моменты наступления внешнего  и внутреннего событий совпадают,  то изменение состояния осуществляется  в соответствии с правилом  наступления внешнего события,  т. е. входные сигналы имеют приоритет над внутренними событиями).

Таким образом, динамику КЛА  можно представить в следующем  виде. Пусть в некоторый момент задано состояние КЛА. Тогда определяется время *(*), через которое совершается случайный скачок, и меняется состояние. Начиная с момента наступления события (внешнего или внутреннего), ситуация повторяется, и динамику КЛА можно описать в виде задания фазовой траектории изменения состояний z (t), определенной на t є Т = [0, ∞). Процесс функционирования КЛА полностью определяется изменениями, происходящими в особые моменты времени – моменты наступления событий (внешних или внутренних). Между особыми моментами состояние КЛА меняется детерминированно.

Опишем теперь КЛА более  подробно.

КЛА внешне имеет вид многополюсника с m входными клеммами и n выходными клеммами (рис.4.3.2). Отметим, что в общем случае для различных КЛА m ≠n.

Моделирование процесса функционирования агрегата

Целью моделирования в  любом случае является получение  характеристик, определяемых состояниями  системы. Для этого необходимо фиксировать  в процессе моделирования достаточно полную информацию о состояниях системы  в соответствующие моменты модельного времени. Применительно к агрегату это означает, что необходимо получать значения состояний z(t) для некоторых моментов времени интервала исследования (0,T). Выше было показано, что вид оператора H, решающего эту задачу, зависит от того, поступают или нет входные и управляющие сигналы в течение рассматриваемого интервала времени. Моменты поступления x и u играют значительную роль с точки зрения построения моделирующего алгоритма. В частности, мы будем рассматривать моделирование как последовательную цепь переходов из одного особого состояния агрегата в другое, причисляя условно к особым состояниям и z(0). Вид моделирующего алгоритма существенно зависит от того, известны ли заранее моменты поступления xи u и вообще моменты последующих особых состояний. С этой точки зрения следует иметь в виду два случая. Первый связан с рассмотрением агрегата, для которого законы поступления входных и управляющих сигналов заданы. В этом случае, очевидно, для моделирования агрегата, кроме описания самого агрегата, необходимо иметь исчерпывающее описание входных и управляющих сигналов, как воздействий внешней среды. Второй случай - рассмотрение агрегата, для которого входные и управляющие сигналы вырабатываются в процессе моделирования как выходные сигналы других агрегатов. Рассмотрим более подробно первый случай.

Итак, изучаем процесс  функционирования агрегата в интервале  времени (0, Т). Совокупности входных  и управляющих сигналов, поступающих  в агрегат в течение интервала  времени (0, Т), считаем известными. Весьма важным является вопрос о способах ввода в модель входных и управляющих  сигналов. Возможные варианты:

1. Входные и управляющие  сигналы записываются в памяти  машины в виде таблицы, содержащей  для всех моментов значения  параметров сигналов. Данные из  таблицы автоматически выбираются  по ходу моделирования (если  не очень много сигналов и  их параметров).

2. Генерирование сигналов  при помощи случайных чисел.  Моменты поступления сигналов  в агрегат представляются в  виде потока однородных событий,  задаваемого соответствующим законом  распределения интервалов времени  между последовательными моментами.  Другие параметры сигнала следует  при этом задавать условным  законом распределения при условии,  что момент поступления сигнала  задан. Тогда моделирование совокупности  сигналов сводится к моделированию  потока однородных событий и  реализаций случайного вектора,  заданного условным законом распределения. 

Существенные особенности  возникают лишь в том случае, когда  входной (или управляющий) сигнал приходит от нескольких источников. Чтобы учесть такого рода обстоятельства, необходимо к подалгоритмам модели, формирующей входные и управляющие сигналы, построить дополнительный подалгоритм – сортировщик, который будет располагать сигналы, вырабатываемые различными источниками, в единую последовательность по времени.

Агрегирование, эмерджентность и внутренняя целостность системы.

Операцией, противоположной  декомпозиции, является операция агрегирования, т.е. объединение нескольких элементов  в единое целое. Необходимость агрегирования  может вызываться различными целями и сопровождаться разными обстоятельствами, что приводит к различным способам агрегирования. Результат агрегирования  называют агрегатом. У всех агрегатов  есть одно общее свойство, получившее название эмерджентность. Это свойство присуще всем системам, и ввиду его важности остановимся на нем подробнее.

Будучи объединенными, взаимодействующие  элементы образуют систему, которая  обладает не только внешней целостностью, обособленностью от окружающей среды, но и внутренней целостностью, природным  единством. Если внешняя целостность  отображается моделью "черного ящика", то внутренняя целостность связана  со структурой системы. Наиболее яркое  проявление целостности системы  состоит в том, что свойства системы  не являются только суммой свойств  ее составных частей. Система есть нечто большее, система в целом  обладает такими свойствами, которых  нет ни у одной из ее частей, взятой в отдельности. Модель структуры  подчеркивает главным образом связанность  элементов, их взаимодействие. Мы же стремимся  сейчас сделать акцент на том, что  при объединении частей в целое  возникает нечто качественно  новое, такое, чего не было и не могло  быть без этого объединения. Рассмотрим пример проявления этого свойства.