Кибернетический подход к описанию систем

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение реальной системы и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S — среда Е».

Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств  системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

xiєX, i=1,… пх

совокупность воздействий внешней среды

vlєV, l=1,… nv

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

hkєH, k=1,… nн;

совокупность выходных характеристик системы

yjєY, j=l,… nу.

При этом в перечисленных  подмножествах можно выделить Управляемые  и неуправляемые переменные.

В общем случае хь vh hk, yj являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными.

А выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором Fs, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида * (*) =**( * ,* ,* ,*)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы  от времени yj(t) для всех видов j= 1, nY называется выходной траекторией у (t)

Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы S и обозначается Fs. В общем случае закон функционирования системы Fs может быть задан в виде функции, функци-онала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования As, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий х(t), воздействий внешней среды v(t) и собственных параметров системы h(t). Очевидно, что один и тот же закон функционирования Fs системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования As.

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Для статических моделей  математическая модель (2.1) представляет собой отображение между двумя  подмножествами свойств моделируемого  объекта Y и {X, V, H}, что в векторной форме может быть записано как

* =* (* ,* ,*)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут  быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в  ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями.

Если рассматривать процесс  функционирования системы S как последовательную смену состояний zy(t), z2(t),… zk(t)), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {* } называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем zk ∈ Z.

Состояния системы S в момент времени t0 < t* < T полностью определяются начальными условиями, входными воздействиями, внутренними параметрами и воздействиями внешней среды, которые имели место за промежуток времени t* — t0, с помощью двух векторных уравнений. *(*)=Ф( ** ,* ,* ,* ,*)

* (*)=*( * ,*)

В общем случае время в  модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, T) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной Δt временных единиц каждый.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных х (*),* (*),* (*) вместе с математическими связями между ними и характеристиками * (*).

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они  не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды v (t) и стохастические внутренние параметры А (t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями * (*)=* (* ,*)

Очевидно, что детерминированная  модель является частным случаем  стохастической модели.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Типовые математические схемы.

В практике моделирования  на первоначальных этапах формализации объектов используют так называемые типовые математические схемы, к которым относят такие хорошо проработанные (разработанные) математические объекты, как дифференциальные алгебраические уравнения, конечные вероятностные автоматы и т.д.

Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы)

Рассмотрим особенности  непрерывно-детерминированного подхода  на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями  называются такие уравнения, в которых  неизвестными будут функции одной  или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях  в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные  искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет

Так как математические схемы  такого вида отражают динамику изучаемой  системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет  вид 

y´=f(y,t)

Наиболее важно для  системотехники приложение D-схем в  качестве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной  физической природы: механической SM (колебания маятника, рис. 2.1, а) и электрической St.

Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматического управления — частный случай динамических систем, описываемых .D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики [32].

Описывая процессы автоматического  управления, придерживаются обычно представления  реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура  многомерной системы автоматического  управления общего вида представлена на рис. 2.2, где обозначены эндогенные переменные:

— вектор входных (задающих) воздействий;

— вектор возмущающих воздействий;

— вектор сигналов ошибки;

— вектор управляющих воздействий;

экзогенные  переменные:

— вектор состояний системы S;

— вектор выходных переменных, обычно у (t) = z (t).

Современная управляющая  система — это совокупность программно-технических  средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько  точно объект управления достигает  заданной цели, можно судить для  одномерной системы по координате состояния y(t). Разность между заданным и действительным y(t) законами изменения управляемой величины есть ошибка управления

h'(t)=yзад(t)- y(t)

Если предписанный закон  изменения управляемой величины соответствует закону изменения  входного (задающего) воздействия, т. е. x(t)=yзад (t), то

h'(t)=x(t)- y(t)

Системы, для которых ошибки управления h' (t) =0 во все моменты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна.

Таким образом, ошибка h'(t) — необходимый субстрат автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выходной переменной y(t) ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной у(t) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляют практический интерес  поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y(t) в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы S.

Таким образом, использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.

Дискретно-детерминированные  модели (F-схемы)

Особенности дискретно-детерминированного подхода на этапе формализации процесса функционирования систем рассмотрим на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Теория автоматов — это раздел теоретической кибернетики, в котором  изучаются математические модели —  автоматы. На основе этой теории система  представляется в виде автомата, перерабатывающего  дискретную информацию и меняющего  свои внутренние состояния лишь в  допустимые моменты времени. Понятие  «автомат» варьируется в зависимости  от характера конкретно изучаемых  систем, от принятого уровня абстракции и целесо-образной степени общности.

Основные соотношения. Автомат  можно представить как некоторое  устройство (черный ящик), на которое  подаются входные сигналы и снимаются  выходные и которое может иметь  некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством X входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием z0, z0 єZ; функцией переходов φ (z, х); Функцией выходов ψ(z, х). Автомат, задаваемый F-схемой: F= <Z, X, Y, φ, ψ, z0>,— функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты.

Работа конечного автомата происходит по схеме:

В каждом t-такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в (t + 1)-такте в новое состояние z(t +1) и выдачей некоторого выходного сигнала.

По числу состояний  различают конечные автоматы с памятью и без памяти.

Автоматы с памятью  имеют более одного состояния, а  автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием.

По характеру отсчета  дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные.

В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами.

Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Существует несколько  способов задания работы F-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

Простейший табличный  способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы — его состояниям. При этом обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z0. На пересечении i-й строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение j(zk, хi,) функции переходов, а в таблице выходов — соответствующее значение y(zk, хi,) функции выходов.