Кибернетический подход к описанию систем

Кибернетический подход к описанию систем

1. Кибернетика  как наука

• Для выработки единых обобщающих терминов, единого языка представителей разных наук Н.Винер в 1934г. собрал в Принстоне на семинар ученых многих специальностей (нейрофизиологов, инженеров-связистов, конструкторов вычислительной техники и др.).
• Для названия новой науки об общих принципах управления в живых организмах и машинах был принят термин «кибернетика».
• Кибернетика – это искусство кормчего, или искусство управления кораблем.
• Кибернетика призвана изучать механизмы управления в системах различного класса
• В более узком смысле кибернетика представляет собой одно из направлений теории систем, занимающееся процессами управления техническими объектами
• Почему же столь практически важная наука считалась лженаукой?

Управление  связано с понятием информации. Любой  объект существует вследствие того, что  получает информацию.

«Информация есть не материя и не энергия, а  информация» 

[Винер Н.  Кибернетика или управление и  связь в животном и машине. Советское радио. М., 1968. С.201].

Согласно  классикам материализма, основными  формами движения материи являются Пространство и Время, а основными  законами- законы сохранения вещества, энергии, движения. Исходя из этих постулатов, определим: материальным (вещественным) является то, что:

• движется в Пространстве и во Времени;
• подчиняется законам сохранения вещества, энергии, движения.

Попробуем рассмотреть  информацию вне Пространства и Времени. Может ли быть такое?

Вывод: информация не подчиняется законам, которым  подчиняются вещественные объекты.

Кибернетика базируется на изучении как материальных, так и нематериальных объектов.

2. Структура  взаимодействия элементов системы  управления

• Кибернетический подход к описанию систем состоит в том, что все системы рассматриваются как системы управления.
• Под управлением понимается процесс организации воздействия на объект управления, в результате которого удовлетворяются потребности субъекта, взаимодействующего с этим объектом.

Иллюстрация кибернетического подхода к описанию систем

Субъект ощущает  на себе воздействие среды Х и  объекта У. Если состояние среды  Х он изменить не может, то состоянием объекта Y он может управлять с помощью специально организованного воздействия U.

Это и есть управление.

Построение  системы управления

На первом этапе определяется цель управления Z*, причем задача решается на интуитивном уровне:

Z*=φ₁(X, At),

где φ₁- алгоритм синтеза цели Z* по потребностям A и состоянию среды X.

На втором этапе определяется управление U_x*, реализация которого обеспечивает достижение цели Z*, сформированной на первой стадии, что и приводит к удовлетворению потребностей субъекта.

По цели Z* синтезируется управление

U_x*= φ₂(Z*,X),

где φ₂ — алгоритм управления.

Этот алгоритм и есть предмет изучения кибернетики  как науки.

3. Основные  понятия управления в технических  и организационных системах

В общем случае процесс управления состоит из следующих  четырех элементов:

• получение информации о задачах управления (Z*),
• получение информации о результатах управления (т. е. о поведении объекта управления У’);
• анализ полученной информации и выработка решения (J={X', У'}),
• исполнение решения (т. е. осуществление управляющих воздействий).
• Процесс управления – это информационный процесс, заключающийся в сборе информации о ходе процесса, передаче ее в пункты обработки, принятии решения, выработке соответствующего управляющего воздействия и передача его в устройство управления.
• На все компоненты системы оказывает влияние внешняя среда, а также различного рода помехи.

В СУ решаются четыре основные задачи управления:

• стабилизация,
• выполнение программы,
• слежение,
• оптимизация.
• Задачами стабилизации системы являются задачи поддержания ее выходных величин вблизи некоторых неизменных заданных значений, несмотря на действие помех. Например, стабилизация напряжения U и частоты f тока в сети вне зависимости от изменения потребления энергии.
• Задача выполнения программы возникает в случаях, когда заданные значения управляемых величин изменяются во времени заранее известным образом.
• В системах оптимального управления требуется наилучшим образом выполнить поставленную перед системой задачу при заданных реальных условиях и ограничениях.

Динамическое описание систем

1. Характер функционирования систем

Общие предположения  о характере функционирования системы:

1) система  функционирует во времени; в  каждый момент времени система  может находиться в одном из  возможных состояний;

2) на вход  системы могут поступать входные  сигналы;

3) система  способна выдавать выходные сигналы;

4) состояние  системы в данный момент времени  определяется предыдущими состояниями  и входными сигналами, поступившими  в данный момент времени и  ранее;

5) выходной  сигнал в данный момент времени  определяется состояниями системы  и входными сигналами, относящимися  к данному и предшествующим  моментам времени.

• Последействие :

Тенденции, определяющие поведение системы в будущем, зависят не только от того, в каком  состоянии находится система  в настоящий момент времени, но в  той или иной степени от ее поведения  в предыдущие моменты времени 

• Принцип физической реализуемости заключается в следующем: система не реагирует в данный момент времени на «будущие» факторы и воздействия внешней среды.

2. Динамическое  описание систем. Основные положения

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени.

Функционирование  сложной системы можно представить  как совокупность двух функций времени:

• x(t) - внутреннее состояние системы;
• y(t) - выходной процесс системы.

Обе функции  зависят от u(t) - входного воздействия и от f(t) - возмущения.

• Процесс функционирования -изменение состояния системы под действием внутренних и внешних причин.
• Состояние системы в фиксированный момент времени -вектор наблюдаемых значений переменных (проявлений свойств).

Определим динамическую систему в виде отношения на множествах X, Y, T, Z.

Для каждого  t Î T

существует  множество z_i ÎZ_i, описывающего состояние системы в

n-мерном множестве Z=Z₁ ´ Z₂ ...  ´ Z_n .

Состояние системы  z(t) - точка или вектор пространства Z с обобщенными координатами z₁, z₂, z₃, z₄, ....., z_n.

Поведение системы - траектория в пространстве Z.

• Множество моментов времени T может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время).

Свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение.

• Фазовым пространством динамической системы называется множество всех ее возможных состояний в фиксированный момент времени.
• U=T ´ Z - фазовое пространство системы.

Пусть в начальный  момент наблюдения t0 система находилась в некотором состоянии, который  будем называть начальное состояние  Zt₀.

• Множество всех возможных начальных состояний есть декартовое произведение t₀ * Z.
• Множество всех возможных входных сигналов  в моменты времени t₁, t₂,… Т * Х.
• Множество всех возможных переходов системы в интервале наблюдения под воздействием входных сигналов :

(t₀ * Z) *  (T * X) * Z

• Математическая модель процесса переходов системы в фазовом пространстве, наблюдаемого во времени:

 

 Z_t = H {(t₀,…,t), Z , X},

где   H – операторов перехода системы в фазовом пространстве состояний.

• Выходная реакция системы в любой момент времени определяется состоянием системы в этот момент времени:

Y_t = G{Z_t}

Таким образом, динамическая система представляет собой множество

S = (H, G, X, Y, Z, T)

3. Детерминированная  система без последствий

• Детерминированная система без последствий – система, состояние которой z(t) зависит только от z(t0) и не зависит от z(0) ... z(t0), т.е. z(t) зависит от z(t0) и не зависит от того каким способом система попала в состояние z(t0).

Графическая интерпретация процессов в детерминированной  системе без последствий

Примером  детерминированной системы без  последствий является маятник 

4. Расширение  понятия динамической системы

Расширение  понятие системы идет по трем путям:

• учет специфики воздействий;
• учет последствий;
• учет случайных факторов.

Учет специфики воздействий

• Вводится понятие управляющих сигналов u Î U; u=M(t), или если сигнал u Î U описывается набором характеристик. U = U₁ ´ U₂ ´ U_L.
• Вводится расширенное множество X^*= X ´ U, таким образом состояние системы описывается вектором x = (x, u) = (x₁, x₂, .... , x_n, u₁, u₂, .... , u_L).

Детерминированные системы  с последствием

• Большой класс систем характеризуется тем, что для представления их состояния необходимо знать  состояние системы на некотором множестве моментов времени.

Стохастические системы

Системы функционирующие под воздействием случайных факторов, называются стохастическими.

Для их описания вводится случайный оператор:

• w Î W - пространство элементарных событий с вероятностной мерой P(A).
• Случайный оператор H₁, переводящий множество X в множество Z:

z = H₁(x, w), реализующий отображение множества W в множество {X®Z }

Описания  динамических систем для задания  закона эволюции разнообразны: с помощью 

• дифференциальных уравнений,
• дискретных отображений,
• теории графов,
• теории марковских цепей
• и т.д.

Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей  динамической системы.

5. Марковские  случайные процессы

• Случайный процесс – процесс в некоторой системе, заключающийся в смене состояний системы под воздействием случайных факторов.
• Случайный процесс называется Марковским (или процессом без последствий), если в любой момент времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (t>t₀) зависит только от ее состояния в настоящем (t=t₀), и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние.
• Марковский процесс с дискретным состоянием
• Марковский процесс с непрерывным состоянием
• Марковский процесс с дискретным временем
• Марковский процесс с непрерывным временем

Граф состояний Марковского процесса представляет собой граф,

• вершинами которого являются состояния Марковского процесса,
• дуги соответствуют переходам системы из состояния S_i в состояние S_j. Каждая дуга имеет вес, который показывает вероятность λ_ij соответствующего перехода.
• Марковская цепь это случайная последовательность состояний вида

где S_i^(k) – i-е состояние на k-ом шаге.

Для анализа  вероятностей состояний системы  в различные моменты времени  для Марковского процесса с непрерывным  временем применяются уравнения  Колмогорова

• где p_i – вероятность того, что системы находится в состоянии S_i,
• λ_ji – интенсивность потока переходов из состояния S_j в состояние S_i,
• i = 1...n – индексы всех состояний системы.