Кибернетический подход к описанию систем

Для некоторых F-автоматов  называемых автоматами Мура, характеризующихся тем, что функция выходов не зависит от входной переменной x(t), обе таблицы можно совместить, получив так называемую отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием zk автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно, выходной сигнал y(zi).

Таким образом, понятие F-автомата в дискретно-детерминированном подходе  к исследованию на моделях свойств  объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах обработки информации и управления. В качестве таких объектов в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т. д. Для всех перечисленных объектов характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени, т. е. их описание с помощью F-схем является эффективным.

На этой модели основаны принципы минимизации числа элементов  и узлов в схеме, устройстве, оптимизация  устройства в целом и последовательности работы его узлов. Наряду с электронными схемами, ярким представителем автоматов, описываемых данной моделью, является робот, управляющий (по заданной программе) технологическими процессами в заданной детерминированной последовательности.

Станок с числовым программным  управлением также описывается  данной моделью. Выбор последовательности обработки деталей на этом станке осуществляется настройкой узла управления (контроллера), вырабатывающего сигналы  управления в определенные моменты  времени.

Для конечного автомата (автомата Мили) эта разметка производится так: если входной сигнал хk действует на состояние zi, то, согласно сказанному, получается дуга, исходящая из zi и помеченная хk; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y=ψ(zi, xk)

Для автомата Мура аналогичная  разметка графа такова: если входной  сигнал хk, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние zj то дугу, направленную в zj и помеченную хk, дополнительно отмечают выходным сигналом y=ψ(zj, xk)

Дискретно-стохастические модели (P-схемы)

Определение: Вероятностный автомат [англ, probabilistic automat) (ВА) - это дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти нем и может быть описано статистически.

Схемы вероятностных автоматов (Р-схем) применяются:

· в проектировании дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение;

· в определении алгоритмических возможностей систем;

· в обосновании границ целесообразности их использования;

· в решении задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

 

Математическое понятие Р-автомата формируется на понятиях, введенных для F- автомата.

Пусть множество G, элементами которого являются всевозможные пары где xi и zs — элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно . Если существуют две такие функции и , то с их помощью осуществляются отображения и , то говорят, что (1) определяет конечный автомат детерминированного типа.

Введем более общую  математическую схему. Пусть Ф —  множество всевозможных пар вида (zk, yj), где yj — элемент выходного подмножества Y, т.е. . Пусть в любой элемент множества G индуцирует на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

При этом , (2) где bkj — вероятности перехода автомат в состояние zk и выдаче на выходе сигнала yj, если автомат был в состоянии z.S, и на его вход в момент времени поступил сигнал хi. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G.

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

При непрерывно-стохастическом подходе в качестве типовых математических схем применяется система массового  обслуживания (англ. queueing system), которые будем называть Q- схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные  по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих  изделий на сборочном конвейере  цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и  т. д.

При этом характерным для  работы таких объектов является случайное  появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные  моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования. Остановимся на основных понятиях массового  обслуживания, необходимых для использования Q-схем, как при аналитическом, так и при имитационном.

Сетевые модели (N-схемы)

В практике моделирования  объектов часто приходится решать задачи, связанные с формализованным  описанием и анализом причинно-следственных связей в сложных системах, где  одновременно параллельно протекает  несколько процессов. Самым распространенным в настоящее время формализмом, описывающим структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов, являются сети Петри (англ. Petri Nets), предложенные К. Петри.

Теория сетей Петри  развивается в нескольких направлениях:

1. разработка математических  основ, 

2. структурная теория  сетей, 

3. различные приложения (параллельное  программирование, дискретные динамические  системы и т. д.).

Формально сеть Петри (N-схема) задается четверкой вида

N=<В, D, I, О>,

где В — конечное множество символов, называемых позициями ,

D — конечное множество символов, называемых переходами, , ;

I — входная функция (прямая функция инцидентности) ;

О — выходная функция (обратная функция инцидентности), .

Таким образом, входная функция I отображает переход dj в множество входных позиций , а выходная функция О отображает переход dj в множество выходных позиций . Для каждого перехода можно определить множество входных позиций перехода I(dj) и выходных позиций перехода О(dj) как

Аналогично, для каждого  перехода вводятся определения множества  входных переходов позиции I(bi) и множества выходных переходов позиции O(bi):

Важной особенностью моделей  процесса функционирования систем с  использованием типовых N-схем является простота построения иерархических  конструкций модели. С одной стороны, каждая N-схема может рассматриваться  как макропереход или макропозиция модели более высокого уровня. С другой стороны, переход, или позиция N-схемы, может детализироваться в форме отдельной подсети для более углубленного исследования процессов в моделируемой системе S.

Типовые N-схемы на основе обычных размеченных сетей Петри  пригодны для описания в моделируемой системе S событий произвольной длительности. В этом случае модель, построенная с использованием таких N-схем, отражает только порядок наступления событий в исследуемой системе S. Для отражения временных параметров процесса функционирования моделируемой системы S на базе N-схем используется расширение аппарата сетей Петри: временные сети, E- сети.

Комбинированные модели (A-схемы)

Этот подход позволяет  описывать поведение непрерывных  и дискретных, детерминированных  и стохастических систем, т. е. по сравнению  с рассмотренными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии  агрегативной системы (от англ. aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой .

Анализ существующих средств  моделирования систем и задач, решаемых с помощью метода моделирования  на ЭВМ, неизбежно приводит к выводу, что комплексное решение проблем, возникающих в процессе создания и машинной реализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы  имеют в своей основе единую формальную математическую схему, т. е. А-схему.

Такая схема должна одновременно выполнять несколько функций:

1. являться адекватным  математическим описанием системы  S;

2. служить основой для  построения алгоритмов и программ  при машинной реализации модели  М; 

3. позволять в упрощенном  варианте (для частных случаев)  проводить аналитические исследования.

При агрегативном подходе сначала дается формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы, которая является математической схемой, отображающей системный характер изучаемых объектов.

При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс их разбиения продолжается до тех пор> пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В результате такой декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

 

 Понятие агрегата

Агрегат - унифицированная  схема, получаемая наложением дополнительных ограничений на множества состояний, сигналов и сообщений и на операторы  перехода а так же выходов.

Комбинированные модели (A-схемы) позволяют описывать поведение  непрерывных и дискретных, детерминированных  и стохастических систем, т. е. обобщѐнным (универсальным) и базируется на понятии агрегативной системы (от англ. aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой.

А- схема должна одновременно выполнять несколько функций:

1. являться адекватным  математическим описанием системы  S;

2. служить основой для  построения алгоритмов и программ  при машинной реализации модели  М; 

3. позволять в упрощѐнном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

При агрегативном подходе сначала даѐтся формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы, которая является математической схемой, отображающей системный характер изучаемых объектов.

При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь ещѐ достаточно сложными, то процесс их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В результате такой декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы  выступает агрегат, а связь между  агрегатами осуществляется с помощью  оператора сопряжения R. Агрегат  сам может рассматриваться как  А-схема, т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Любой агрегат характеризуется  следующими множествами:

· моментов времени Т

· входных X сигналов

· выходных Y сигналов

· состояний Z в каждый момент времени t.

 

Состояние агрегата в момент времени tєT обозначается как z(t)єZ, а входные и выходные сигналы — как x(t)єX и y(t)єY соответственно.

Будем полагать, что переход  агрегата из состояния z(t1) в состояние z(t2)≠z (t1) происходит за малый интервал времени, т. е. имеет место скачок δz. Переходы агрегата из состояния z (t1) в z(t2) определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата h(t)єН и входными сигналами х(t)єX.

В начальный момент времени t0 состояния z имеют значения, равные z°, т. е. z°=z(t0), задаваемые законом распределения процесса z(t) в момент времени t0, а именно L [z(t0)]. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала хn описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат tn єT входного сигнала хn можно определить состояние

Обозначим полуинтервал времени t1<t≤ t2 как (t1,t2] а полуинтервал tl≤ t<t2 — как [t1, t2). Если интервал времени (t n tn+l) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t є(tn,tn+1) состояние агрегата определяется случайным оператором U в соответствии с соотношением

Совокупность случайных  операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний z в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами tn и tn+1 (оператор U). На оператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний δz в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов х. В дальнейшем моменты скачков δz будем называть особыми моментами времени tδ, а состояния z (tδ) — особыми состояниями А-схемы.

Для описания скачков состояний δz в особые моменты времени tδ будем использовать случайный оператор W, представляющий собой частный случай оператора U, т. е.

В множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z(Y), что если z(tδ) достигает Z(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходов

Таким образом, под агрегатом  будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных  множеств Т, X, Y, Z, Z(Y), H и случайных операторов V, U, W, G.

Последовательность входных  сигналов, расположенных в порядке  их поступления в А-схему, будем  называть входным сообщением или х-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходным сообщением или у-сообщением.