Кибернетический подход к описанию систем

Постановка задачи:

По некоторой  цели ведется стрельба в моменты  времени t₁, t₂, t₃, t₄. Цель может находиться в одном из следующих состояний:

• S₁ – цель невредима,
• S₂ – цель незначительно повреждена,
• S₃ – цель имеет существенные повреждения,
• S₄ – цель полностью поражена.

 

 

 

Используя формулу полной вероятности

 

рассчитаем  вероятности всех состояний последовательно  для 0, 1, 2, 3 и 4 моментов времени. При  этом примем

• p₁(0) = 1  (S₁ – начальное состояние системы)
• p₂(0) = 0
• p₃(0) = 0
• p₄(0) = 0

Марковские цепи с непрерывным  временем

Постановка задачи:

• Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью λ₁, второго узла – также пуассоновский с интенсивностью λ₂. Каждый узел сразу же после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановления (окончания ремонта узла) для обоих узлов – пуассоновский с интенсивностью λ.

Необходимо  составить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова, и  определить начальные условия.

Решение:

Определим следующие  состояния системы:

• S₁ – оба узла нормально функционируют,
• S₂ – произошел отказ первого узла, второй узел нормально функционирует,
• S₃ – произошел отказ второго узла, первый узел нормально функционирует,
• S₄ – оба узла отказали.

 

 

 

 

 

По графу  состояний системы составим уравнения  Колмогорова

Из постановки задачи определим начальные условия:

при t = 0,   p₁=1,    p₂=0,  p₃=0,  p₄=0.

 

 

 

 

Предельные вероятности состояний

Из уравнений  Колмогорова можно вычислить  вероятности состояний системы  в любой момент времени p_i(t).

Так же можно определить предельные вероятности состояний

 

которые показывают, как долго в среднем система  находиться в каждом из состояний.

Если число  состояний системы конечно, и  из каждого состояния можно перейти  в любое другое (за один или несколько  шагов), то предельные вероятности всегда существуют и не зависят от начального состояния системы.

• Для вычисления предельных вероятностей p_i необходимо в системе уравнений Колмогорова положить левые части равными нулю и решить данную систему совместно с условием нормировки вероятностей

Постановка задачи:

Операционная  система может находиться в одном  из четырех состояний:

• S1 – система простаивает,
• S2 – система слабо загружена,
• S3 – система сильно загружена,
• S4 – система перегружена и не отвечает на запросы.

При этом потоки всех переходов являются пуассоновскими.

Необходимо  найти предельные вероятности всех состояний системы.

 

 

 

 

6. Системы  массового обслуживания

• Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.
• Заявка -спрос на удовлетворение какой-либо потребности.
• Обслуживание заявки - выполнение заявки.
• Событие - поступление заявки в СМО.
• Входящий поток заявок - последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО.
• Выходящий поток заявок - последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО.

Графическое представление  простейшей СМО

Предмет теории массового обслуживания — построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО с характеристиками — показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок.

Формализация системы - определение  параметров системы, необходимых и  достаточных для анализа характеристик  ее функционирования.

Для формализации любой СМО  необходимо описать:

• процесс поступления заявок в систему;
• процесс обслуживания заявок в системе;
• дисциплину обслуживания.

Процесс поступления заявок

• t₁, t₂, t₃, ... , t_k, ... — моменты поступления в систему 1-й, 2-й, 3-й, ..., k-й, ... заявки
• t_k = t_k – t_k-1 промежуток времени между моментами прихода (k–1)-й и k-й заявки – это интервал прихода k-й заявки 

 

При этом поток называется  детерминированным или регулярным

Если интервалы прихода t_k являются случайными величинами, то соответствующий поток заявок называется стохастическим или случайным.

Например, заявки в среднем  приходят в количестве 5 штук в час.

Времена между приходом двух соседних заявок случайны: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2

• Поток заявок, для которого функции распределения  интервалов прихода всех заявок одинаковы, называется рекуррентным.
• Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода (t ) всех заявок распределены по одному и тому же закону.

 

• Интенсивность потока l(t) определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени.
• Если интенсивность поступления l(t) не зависит от времени, т.е. l(t) º l, то такой поток называется стационарным.
• Величина а, обратная интенсивности l (а=1/l), определяет среднее значение интервалов прихода или средний интервал поступления заявок.
• Если в каждый момент времени t₁, t₂, t₃, ... поступает только одна заявка, то такой поток называется ординарным, в противном случае — групповым
• Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга

Математический анализ работы СМО упрощается, если процесс этой работы — марковский.

Для этого достаточно, чтобы  все потоки событий, переводящие  систему из состояния в состояние (потоки заявок, потоки «обслуживаний»), были простейшими.

Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим  условиям:

1)отсутствие последействия;

2)стационарность;

3)ординарность.

Для простейшего потока вероятность pi(t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле

т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt.

По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Простейший поток является потоком рекуррентным стационарным ординарным и без последействия

и, наоборот:

любой рекуррентный стационарный, ординарный поток без последействия  является простейшим.

Процесс обслуживания

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку.

• СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.
• Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.
• Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью.
• Различают СМО открытого и замкнутого типа.

В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО (билетные кассы, очередь в булочной).

В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

Длительность обслуживания t_в - промежуток времени, в течение которого заявка находится в обслуживающем канале.

Для описания процессов обслуживания необходимо задать

функцию распределения  B_k(t) длительности обслуживания для каждой k-й заявки (k = 1, 2, 3, ...).

Будем считать, что все заявки создают  статистически однородную нагрузку, т.е. длительности обслуживания всех заявок распределены по одному и тому же закону:

 

• Интенсивность обслуживания m, характеризует среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.
• Величина b, обратная интенсивности m (b=1/m), определяет среднее время обслуживания одной заявки.

Дисциплина обслуживания (ДО) - правило, по которому выбираются на обслуживание заявки из очереди.

Различают следующие ДО:

• обслуживание в порядке поступления или дисциплина FIFO;
• обслуживание в обратном порядке или дисциплина LIFO;
• обслуживание в случайном порядке, когда заявка на обслуживание выбирается случайно среди ожидающих заявок.

 

Таким образом, для описания СМО необходимо задать:

1) функцию распределения A(t) интервалов поступления (общий случай) или интенсивность поступления l (или средний интервал а=1/l) и КВ n_а интервалов поступления;

2) функцию распределения В(t) длительности обслуживания (общий случай) или интенсивность обслуживания m (или среднее время обслуживания b=1/m) и КВ n_вºn времени обслуживания;

3) дисциплина обслуживания (ДО FIFO).

Параметры, которые характеризуют  эффективность работы СМО

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность поступления в СМО заявок;

μ– интенсивность обслуживания заявок;

ρ = λ/μ – коэффициент загрузки СМО;

m – число мест в очереди;

р_отк- вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

Q ≡ p_обс - вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО); при этом

Q = p_обс = 1 - р_отк;    

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

А = λ*Q;

L_смо - среднее число заявок, находящихся в СМО;

¯n₃ - среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В то же время это

L_обс - среднее число заявок, обслуживаемых СМО за единицу времени. Величина ¯n₃ определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов

где р_k- вероятность системы находиться в Sk состоянии;

K ¯n₃ / n = - коэффициент занятости каналов;

t_ож - среднее время ожидания (обслуживания) заявки в очереди,

v = 1/t_ож - интенсивность потока ухода заявок из очереди.

L_оч- среднее число заявок в очереди (если очередь есть); определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

где p_n+i - вероятность нахождения в очереди i заявок;

T_смо ≡ ¯t_смо - среднее время пребывания заявки в СМО;

T _оч. ≡ ¯t_оч. - среднее время пребывания заявки в очереди (если есть очередь);

Для открытых СМО справедливы соотношения

называемые формулами  Литтла и применимые только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

Основные подходы к  построению математических моделей  систем

Математические схемы 

Исходной информацией  при построении математических моделей  процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математические  схемы. Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной).

При пользовании математической схемой исследователя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например, представление  процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования  в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать  процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения  входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов  в явном виде.

Математическую  схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель — математическая схема — математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель».