Информационные технологии на уроках математики

3) В готовальне открыть меню Линейка и задать команду Отрезок.

4)  В меню Построение выбрать курсором команду Отрезок выбрать курсором (рис.11).

Рис. 11

5) Нажав клавишу Shift выделить курсором отрезок АС и точку В на прямой.

6) В меню Построение выбрать курсором команду  Параллельная (рис 12).

  Рис. 12

7) Нажав клавишу Shift выделить курсором прямые.

8) В меню Построение выбрать курсором команду Точка на пересечении.

9) Последовательно выделить курсором  вершины параллелограмма

10) В меню Построение выбрать курсором команду Отрезок. (рис. 13).

 Рис. 13

11) Нажав клавишу Shift выделить курсором прямые.

12) В меню Вид выбрать курсором команду Спрятать прямые.

 

2.Измерьте площадь параллелограмма:_________________________

Алгоритм измерения  площади параллелограмма.

1)Выделить все вершины параллелограмма  (нажав клавишу Shift).

2)Выбрать меню Построение

3)Выбрать команду Многоугольник.

4)Выбрать меню Измерение.

5)Выбрать команду Площадь.

6)На экране  появится результат  измерения.

3.Проведите высоту параллелограмм,  измерьте высоту параллелограмма  его основание:__________

4.Вычислите площадь параллелограмма по формуле:__

5.Курсором переместите одну  из вершин параллелограмма

и запишите результаты измерения._______________________________________

Сделайте вывод о  работе:________________________

Оценка за практическую работу:_________________

 

Мой практический опыт использования программы “Живая геометрия” при индивидуальной работы с учащимися показывает, что использование компьютерного продукта влечет за собой повышение качества преподавания, так как программа позволяет усваивать метрические соотношения не догматически, а экспериментально – в том числе и учащимся с затрудненным восприятием геометрии. Поясню на примере практической работы №1 (“Треугольник. Начальные сведения”).

В данной практической работе ставится, в частности, задача убедиться, что  против большего угла треугольника лежит большая сторона. Ученик строит произвольный треугольник, с помощью функций программы измеряет его стороны и углы и определяет, что против большего угла лежит сторона большей длины.

Далее он преобразует треугольник, передвинув вершину.  Треугольник изменится, и на листе автоматически появятся значения углов и длин сторон нового треугольника. Выполнив эту операцию несколько раз, он убеждается, что против большего угла треугольника лежит большая сторона и делает обобщающий вывод.

Известно, что факты, открытые учащимися самостоятельно, усваиваются ими лучше, чем преподнесенные учителем в готовом виде. Меняется и отношение учащихся и к геометрическому объекту, созданному своими трудами, по отношению к тому, как если бы его просто дали в готовом виде или определили. Ведь он помнит весь процесс творения – с чего начинался объект, какие трудности пришлось преодолеть, прежде чем прийти к желаемому результату.

Важно, что ученик практически никогда  не работает с каким-то единственным, скажем треугольником или четырехугольником, а всегда – с целым семейством. Геометрическая интуиция ребенка, который с помощью одного движения мышки может проследить за целой группой треугольников или, развивается гораздо лучше, чем у ребенка, лишенного такой возможности.

 

4.2 Решение математических задач в среде Excel

 

 

Нахождение  экстремумов функций с помощью  инструмента Поиск решения

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка  локальный экстремум, то его можно  найти используя надстройку Excel Поиск решения.

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере следующего упражнения.

 

 

Пусть задана неразрывная функция Y=  X²+X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).

Для решения задачи выполнить действия:

• В ячейку А2 рабочего листа нужно ввести любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;
• В ячейку В2 ввести формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2
• Выполните команду меню Сервис/Поиск решения;
• Настроить параметры инструмента Поиск решения: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.
• в поле Установить целевую ячейку указывая адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установить переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки ввести адрес ячейки, содержащей Х (А2);

В ячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она  имеет минимальное значение, а  в ячейке В2 – минимальное значение функции.

Решение систем линейных уравнений

Встроенные  функции для работы с матрицами

В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами (табл.1).

Таблица 1.

Русифицированное имя функции	Англоязычное имя функции	Выполняемое действие
МОБР (параметр)	MINVERSE (parametr)	обращение матрицы
МОПР (параметр)	MDETERM (parametr)	вычисление определителя матрицы
МУМНОЖ (список параметров)	MMULT (parametrlist)	Умножение матриц

Параметрами функций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц, или имена диапазонов и выражения, например

МОБР (А1: B2) или МОПР (матрица_1).

 

Решение систем линейных уравнений

Известно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

AX=B.

Решение такой системы записывается в виде

X=A^-1B,

Где A-1 –матрица, обратная по отношению  к А.

 

Пример решения системы  линейных уравнений:

Пусть система уравнений задана матрицами:

 

Для решения задачи выполните действия:

• Выделите диапазон размерностью 2 х 2 и присвойте ему имя А;
• Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя В;
• Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя Х;
• Используя список имен выделите диапазон А и  введите в него значения элементов матрицы А;
• Используя список имен выделите диапазон В и введите в него значения элементов вектора В;
• Используя список имен выделите диапазон Х для помещения результата решения системы;
• В выделенный диапазон Х введите формулу

=МУМНОЖ(МОБР(А);В);

• Укажите Excel, что выполняется операция над массивами, для этого нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>, в ячейках диапазона Х будет получен результат: х1=2,16667, х2= - 1,33333

Чтобы выполнить проверку полученных результатов достаточно перемножить исходную матрицу на вектор результата, итогом этой операции является вектор свободных членов.

 

 

Решите систему  уравнений  вида AX=B и выполните  проверку решения

 

 

 

Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций  нахождения корней следующая:

1. Уравнение представляется в виде функции одной переменной;
2. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;
3. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;
4. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим последовательность отыскания  корней нелинейного уравнения на примере.

Требуется найти все корни уравнения X³-0,01X²-0,7044X+0,139104=0 на отрезке  
[-1; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьей степени, следовательно, уравнение может иметь не более трех корней.

1. представим уравнение в виде функции

Y = X³-0,01X²-0,7044X+0,139104

Известно, что корни  исходного уравнения находятся  в точках пересечения графика  функции с осью Х.

2. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью нужно табулировать функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, следовательно, получатся табличные значения функции. Из полученной таблицы можно найти, что значение функции трижды пересекает ось Х и исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.
3. Анализ таблицы показывает, что функция меняет знак в следующих  интервалах значений аргумента Х: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) и (0,6;0,8).  Поэтому в качестве начальных приближений возьмем значения Х: -0,8; -0,2 и 0,6 .
4. На свободном участке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введите приближения, а соответствующие ячейки столбца В формулы.

Выполнив команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления, с установленной относительной погрешность вычислений  E=0,00001 и числом итераций N=1000, получится ответ: -0,209991 и 0,720002.

Решение систем нелинейных уравнений

 

Применяя надстройку Excel  Поиск решения можно решать системы нелинейных уравнений. Требуется найти все корни приведенного уравнения для диапазона значений х и y [-3; 3].

 

Шаг 1.  Приведем систему к одному уравнению. Пара (x, y) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными:

(x² + y² – 3)² + (2x + 3y – 1)² = 0

Шаг 2. Для решения последнего уравнения необходимо найти начальные приближения, для этого табулируя выражение, стоящее в левой части как функцию по двум переменным x и y найдем начальные приближения.

Поскольку табулируемая функция задает поверхность, то начальные приближения следует искать во впадинах, т.е. в точках, где функция принимает наименьшие значения. Начальными приближениями являются пары (-1;1) и (1,5; -0,5).

Введите значения найденных  приближений в смежные ячейки рабочего листа ( см. рис.). Над столбцами сделайте надписи XX и YY, которые будут выполнять в формулах роль меток. Обратите внимание, что мы уже использовали имена Х и Y, поэтому имена новых меток должны отличаться.

Шаг 4. В ячейку строки, в которой записана первая пара Х и У нужно ввести формулу, вычисляющую значение функции:

=(XX^2+YY^2-3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2

Шаг 4. Установив курсор на ячейке, в которой записана формула, выполнитеь команду меню Сервис/Поиск решения. Предельное число итераций – 1000, относительная погрешность 0,000001.

В окне Поиск решения  в качестве целевой ячейки нужно установить адрес ячейки, содержащей формулу, взведя переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки указать адрес диапазона, содержащего начальные приближения. В ячейках, где хранились начальные приближения будет получена первая пара корней.

Повторив такие же операции для второй пары приближений.

Решением системы являются пары (-1,269; 1,1791) и (1,5764; -0,718).

 

 

                    

 

4.3 Использование системы MathCAD на уроках математики

Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств.

Системы линейных и нелинейных уравнений  и неравенств позволяет решать на MathCAD блок given в сочетании с функцией Find.

Замечание: в блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

1. Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова given.
2. При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=
3. Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.

Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных. Если необходимо найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

4. Признаком окончания системы служит функция Find, если необходимо найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и требуется найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

В том случае, если решение не может  быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.

Пример: зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

    

       

Если необходимо найти решение  при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию

       

Замечание: в этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)