Економіко – математичне моделювання

      4. Більш окремі випадки, коли як початковий набір функцій допускаються лише лінійні (полілінійні) функції (функціонали) приводять до задач лінійної алгебри або тензорного аналізу.

      Наукова основа пізнання соціально-економічної  сфери полягає в аналізі Емпіричного  матеріалу про поведінку цієї системи, що міститься в різних довідниках і світових класифікаторах. В різноманітті всіх видів відносин в соціальній сфері однією з якнайменше формалізованих є область політичних взаємостосунків між державами. Основний статистичний інструментарій - апарат аналізу чинника - запропонував разом з одиничними показниками (індикаторами) політичної поведінки держав на світовій арені розглядати більш вузьку сукупність нових показників - чинників, які є лінійною комбінацією початкових індикаторів. По суті справи, це означає розгляд нових показників, які проводяться у відповідність з підмножинами безлічі початкових показників. Такі нові показники, звані інакше суперпроблемами”, можуть і мають бути змістовним чином інтерпретовані. Як відзначає Я. Окунь, „той дослідник повинен перетворитися із статистика, що піклується в першу черга про правильність і точність обчислень, в експерта по проблемі, закономірності якої досліджувалися за допомогою аналізу” чинника.

      Приведені міркування, з погляду математичного аналізу, означають лише те, що безліч одиничних показників може бути доповнене системою додаткових показників - „суперпроблем” - до групи з операцією) симетричної різниці. Політичний процес в цьому випадку описується відповідною функцією на групі суперпроблем, в яку, зрозуміло, як підмножини входять одноелементні підмножини - початковий набір політичних індикаторів. Серед таких функцій виділяються найпростіші (основні), які і є своєрідним будівельним матеріалом для опису довільних функцій на групі, тобто довільних політичних процесів в значенні введеної відповідності. В теорії груп як такі найпростіші функції розглядаються мультиплікативні функції на групі. Тим самим політичний процес може бути охарактеризований через властивості його розкладання за системою мультиплікативних функцій, інакше званих характерами групи.

      Однією  з основних проблем при дослідженнях в соціальній сфері є проблема метрики, заходів близькості або  „дистанцій ” між об'єктами, що вивчаються. Різноманіття метрик, що використовуються, достатньо велике. Найпоширенішими є традиційна метрика Евкліда, а також метрики Мінковського і Хеммінга. Не маючи свій в розпорядженні серйозних аргументів на користь тієї або іншої метрики в конкретних дослідженнях, можна задатися метою виділити клас задач, на якому метрики Евкліда (в просторі L₂) і Мінковського (L_р, , р > 0) будуть еквівалентні. Опис класу функцій, для якого справедлива еквівалентність вказаних метрик, представляється складною задачею.

      Перейдемо до строгих визначень.

      Визначення 1. Підмножина безліч індексів тригонометричної системи або системи Уолша називається λ(р) - множиною для деякого р > 0, якщо для деякого q > р > 0 і для будь-якого полінома R(x) із спектром в Е справедлива нерівність:

      

      де  постійна С > 0 не залежить від вибору полінома R(x).

      Задача  побудови класу функцій, на якому  відповідні метрики еквівалентні, зводиться  тим самим до вивчення структури  послідовностей Е.

      Визначення 2. Множина G називається групою, якщо для будь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначений третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна операція, що позначається, наприклад, ) з наступними властивостями:

1. - асоціативність.
2. В G є елемент О, званий нулем, такий, що для будь-якого елемента a із G справедлива рівність .
3. Для кожного елемента а існує протилежний (зворотний) елемент –а такий, що .

      Групи, для яких для будь-кого а, в із G, називаються комутативними (або абелевими) групами. Нижче ми обмежимося розглядом лише абелевих груп. Прикладом некомутативної групи є, наприклад, група підстановок кінцевої множини, або група лінійних перетворень евклідова простору. Разом з групою підмножин кінцевої множини (індикаторів) ми розглянемо також кінцеву циклічну групу і групу дійсних чисел відрізка [0, 2л] з операцією складання по модулю 2тс.

      Визначення 3. Симетричною різницею множин А  і В (позначається ) називається така множина З, яке складається з елементів, що належать рівно одній з множин А і В. Легко бачити, що .

      Визначення 4. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначна відповідність φ між цими групами, яка зберігає групову операцію, тобто для будь-кого а, в G .

      Визначення 5. Лінійним простором Е над полем  з двох елементів (0, 1) називається  безліч всіх n - рядків ( ) з покоординатним складанням модулю 2, де ( ) рівні 0 або 1.

      Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множини по операції симетричної  різниці ізоморфна як група лінійному  простору над полем з двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другу операцію - множення - певним чином злагоджену з складанням, внаслідок чого подібна структура називається ще кінцевим полем, або полемо Галуа (на ім'я видатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивості для вирішення питання про можливості розв’язання рівнянь алгебри в радикалах).

      Основна ідея аналізу - апроксимація функцій  довільної природи Битвами, що складаються  з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок вибору як такий основний набір системи  мультиплікативних функцій.

      Визначення 6. Характером групи З називають таку комплекснозначну функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню: .

      Як  показано в роботі, групою характерів групи підмножин кінцевої множини  по операції симетричної різниці  є система функцій Уолша, про  яку мова піде нижчим. В цій же роботі показано, що групою характерів безлічі дійсних чисел відрізка [0, 2π] з операцією складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій , а групою характерів кінцевої циклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

       .

      Саме  ці групи ми і використовуємо надалі для характеристики політичного  процесу як функції політичних індикаторів. При цьому континуальний випадок  є природним узагальненням дискретного  випадку в припущенні ухвалення  концепції актуальної нескінченності для безлічі політичних індикаторів, що представляється самим загальним випадком. Крім того, з тригонометричною системою пов'язана, як вже наголошувалося, класична проблема представлення функції (суперечка Ейлера і Д'Аламбера). Нижче за показ? але, як метричні задачі для загальних тригонометричних рядів будуть зведені до вивчення рядів (насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевої циклічної групи.

      На  базі наступної допоміжної леми здійснено  зведення метричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можна також потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.

      Лема. Хай функція . Якщо, то існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , . Назад, якщо існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , для деякого ε > 0, то функція , при будь-кому р, 0 < р < 1 + е, причому при р = 0 твердження втрачає силу. Крім того, функція f(x) істотно обмежена на [0,2л] тоді і тільки тоді, коли існує постійна С>0 така, що для будь-якої вимірної множини , .

      Доведення: Хай  , , тоді:

       .

      і в одну сторону затвердження леми доведено.

      Хай тепер для будь-якої вимірної множини Е, , і деякого . Хай , .

      Якщо  f(x) - дійснозначна функція, то:

       .

      Якщо  f(x) = u(x)+iv(x), то:

       ; ;

      і значить:

       .

      Нехай ,

      k=1,2, ..., і хай , р>0, р<1+ε.

      Тоді:

       (1)

      Легко бачити, що для k = 1,2....

       ,

      тому:

        (2)

      Зіставляючи (1) і (2), маємо:

      

      будь-яке  , тобто , що і вимагалося довести.

      Те, що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прикладі функції .

      Для цієї функції:

       , але  .

      Нарешті, якщо , то:

      

      то

      Якщо  ж, навпаки, функція f(x) така, що:

       ,

      то:

      

      звідки  при всіх k=l, 2,.... Це можливо лише у випадку, коли починаючи з деяким k₀, при всіх k>k₀, тобто у разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністю доведена.

        Теорема 1. Якщо послідовність  цілих чисел

      

      то  існує постійна , така, що для будь-кого натурального числа р і будь-якого полінома , де або ,

      справедлива нерівність:

       (3)

      Назад, якщо для послідовності {n_k} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р і для будь-якого полінома , або , , справедлива оцінка (3), то послідовність для любого .

      Доведення: Доведемо спочатку необхідність.

      Хай:

       де 

        Утворюємо множину Е на відрізку [0,2π] таким чином:

      

      Оцінимо інтеграл по множині Е від функції  , де коефіцієнти a_k підберемо пізніше:

      

      

      тобто:

       (4)

      Хай тепер f(x) вибрана так, що:

        (5)

      Тоді  в силу (4) маємо:

       (6)

      Оскільки , то існує постійна , така, що:

      

       (7)

      

      З другого боку, зважаючи на нерівність маємо в силу (6)

       (8)

      Зіставляючи (7) і (8), одержуємо:

      

      

      і нерівність (З) доведена з постійною:

      

      Доведемо  тепер достатність. Хай для послідовності {n_k} справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р і поліном R(x) вибрано в відповідності з умовою теореми. Доведемо, що всяка функція:

        

      належатиме  і простору для будь-яке ρ (0,2 + ε), звідси і витікатиме, що послідовність при будь-яке .

      Хай спочатку f(x) - поліном і хай:

      

       (9)

      

      З рівності (4) виходить, що:

       (10)

      Використовуючи (3) і (10), маємо:

       (11)

      Нерівність (11), будучи виконано для фіксованої функції

       і всіх простих множин Е з достатньо  дрібними становлячими інтервалами, очевидно, буде виконано для цієї ж функції  і для будь-яких вимірних множин Е на відрізку [0,2л]. Але тоді нерівність

      (11) буде виконано і для будь-яких функцій f(x) вигляду

        і будь-яких вимірних множин  Е. По лемі  [*=1 для будь-яких , і теорема 1 повністю доведена.