Економіко – математичне моделювання

      Відкриття Фур’є створило умови трактування  функції як відповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле  вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняття функції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, що виникли після відкриття Фур’є - це питання збіжності і можливості представлення функції рядами - вже для своєї коректної постановки зажадали введення нових понять. Приклад безперервної функції з рядом Фур’є, що не всюди сходиться, ванний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур’є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, що представляють якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” в проектованої геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функції тригонометричним рядом Фур’є дали плідну їжу для розвитку різних розділів математики.

      Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, її сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціонального статусів функції - ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовного поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштраса і Ван-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругах старих консервативних математиків.

      „ Я з жахом і огидою відвертаюся  від цієї розростаючої язви Функцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла  і заходи Лебега) потягло за собою  поява нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур’є безумовно гарантована. Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гиббса, принцип локалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграцію тригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Рімана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Тонкі технічні методи дозволили Д.Е, Меньшову майже остаточно зшити питання про зображену функції тригонометричним рядом, а також просто єдиності.

      В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеної функції, як функції, значення якої виходять з аргументу і постійних  величин при допомозі арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, вимірної функції, що не допускає згадане зображення, провів наЯ що коштує фурору.

      Здавалося б беззмістовне за часів Ейлера і  Д' Аламбера запитання що приписати  як сума ряду, що розходиться, - одержав  остаточний розвиток в роботах Пуассона, Рімана, Фейера. Ейлерові операції з розбіжними рядами знайшли своє обгрунтовування. Наполеону приписуються слова: „я спочатку завоюю цю землю, а потім знайдуться юристи, щоб обгрунтувати цей акт.” Н математиці відмова від строгих обгрунтовувань часто приводила до сильних результатам, не говорячи вже про пріоритет. Багато результатів Якобі носили бездоказовий характер, „для гаусової строгості у нас немає часу” - говорив він на лекції своїм студентам. Але Якобі випередив багато своїх сучасників, які згодом строге передоказали його результати.

      „...в  теперішній час математика менш ніж  коли-небудь зводиться до чисто механічної гри з ізольованими формулами, біліше ніж коли-небудь інтуїція неподільно панує в генезисі відкриттів. „в той же час „зневага до розробки логічної основи нових теорій часто приводить до кустарництва. Взаємозв'язок інтуїтивного і логічного є необхідний момент в розвитку будь-якої галузі математики. Функції комплексного змінною були набагато більш детально вивчені, коли комплексні числа сталі інтерпретувати як точки площини; назад, комплексний аналіз лише тоді придбав постійну форму, коли став логічно спроможний. Вимоги логічної строгості і консистентності (повнота) основних положень теорії разом із строгим” правилами висновку є одним з критеріїв істинності теорії.

      Основне питання в теорії рядів Фур’є - питання збіжності. Після Фур’є вся перші спроби дати строге доведення загальної теореми про збіжність тригонометричних рядів закінчилися невдачею. І, проте, доведення назрівало.

      Недоліком існуючих робіт була відсутність  точних формулювань умов, при яких указувалися теореми. Честь відкриття  умов, що гарантували збіжність, як вже указувалося випалу Діріхле. Питання про те, наскільки повно  дозволяє судити ряд Фур’є функції про її поведінку залишався відкритим. Леопольд Феєр своїм результатом про (С,1) - торб мируемости майже усюди ряду Фур’є до Функції, що породила його, показав, що ряд визначає функцію по модулю безлічі міри нуль, про те, що (С,1) сумування тут не можна замінити на звичайну збіжність було доведено в набагато більш пізній роботі А.Н. Колмогорова. Зусиллями Карлесона і Хантл питання про структурні властивості функцій з тими, що сходяться майже усюди рядами Фур’є одержало, мабуть, достатньо вичерпне рішення. Апарат що використовується в цих новітніх роботах, показує, наскільки глибоко розвивалась теорія тригонометричних рядів.

      Приблизно до XIX століття математиків цікавили і питання опис субстанціональних  об'єктів (числа, прямі, множини, функції  і т.п.), питання про „реальне” існування таких об'єктів як, скажімо, ряд або послідовність. Прагнення виражати мовою логіки всі поняття математики з основних привело до переконання про необхідність не визначати деякі об'єкти.

      „математики XIX сторіччя сталі потроху зміцнюватися в думці, що питання Ll значенні цих понять як субстанціональних об'єктів в рамках математики

      і взагалі де б то не було) просто не має сенсу. Математичні твердження, в які входять ці терміни, відносяться  не до фізичної реальності... Питання  про те, „ніж насправді” є крапки, прямі і числа, не може і не повинна обговорювати математична наука. „ Звичайно ж математика повинна обговорювати питання про логічну спроможність тих або інших визначень, наприклад, визначення „кардинальне число безлічі всіх кардиналів” і т.п.; проблеми ж природи математичних абстракцій суть прерогатива філософії і вони є окремим випадком так званої проблеми „про онтологічний статус універсалій”. Вживання математичних методів повинне бути обмежено розумними межами. Відома критика Е. Маху, який в своїх роботах зводив всі зв'язки в природі до функціональних („в природі немає ні причини, ні слідства...”). З точки ж зору сучасної математики єство поняття функції полягає в способі відповідності між двома сортами об'єктів вельми загальної природи. Придбаваючи свою конкретну реалізацію в різних способах завдання (словесному, табличному, аналітичному, графічному) воно лише відображає істоту відповідності. Питання, пов'язані з бажанням знайти спосіб зображеної функції, що охоплює всі вказані способи, одержали достатньо вичерпне рішення завдяки апарату тригонометричних рядів.

      Таким чином, виникнувши в різний час з  потреб практики і потреб самої математики, пройшовши тривалий шлях розвитку від  інтуїтивного рівня розуміння до розвиненого сучасного апарату, поняття функції і тригонометричного ряду виявилися вельми спорідненими і взаємозв'язаними. 

      1.2.4. Основні підходи  використовування  систем індикаторів  для аналізу зовнішньополітичних  процесів

      Існуючі теорії зовнішньої політики так чи інакше засновані на використовуванні як початковий елемент деякої статистичної бази. Така база повинна грунтуватися на прийнятому порядку формування емпіричного матеріалу, тобто на виборі системи показників, що описують систему міжнародних відносин. Характерним прикладом послідовного вживання цієї ідеї в теорії зовнішньої політики є діяльність професора університету штату Огайо (США) Джеймс Розенау. Серед безлічі розрізнених чинників, що впливають на зовнішню політику, Д. Розенау виділяє п'ять груп змінних: індивідуальні чинники (якість, досвід, талант політичного діяча), ролеві фактори (чинники зовнішньої поведінки, обумовлені посадами політичних діячів), урядові чинники (що стосуються рамок функціонуючої урядової структури), суспільні змінні (основні цінності суспільства і т.п.), системні індикатори, або „зовнішні змінні”. Професор Ч. Л. Тейлор, організував спеціальну конференцію в 1978 р., присвячену розвитку теорії політичних індикаторів, за наслідками якої були опубліковані основні доповіді. В роботі П. Бекмана система індикаторів світової політики розглядається для дослідження поняття „могутності” („потужності”) держави, метою їх порівняльного розташовує. У вказаній роботі продовжені дослідження Р. Моргентау, До. Норра, О. Моргенштерна, що стосуються порівняння держав за системою індикаторів. Потужність держави по Бекману - це середнє арифметичне відсотка світової здобичі сталі досліджуваної держави і деякий! величини, що є твором індексу політичної стабільності і відсотка світового народонаселення. Макромоделі такого роду особливе характерні для робіт Мортона Каштана. Проблеми оптимальної поведінки (управління ідеології, що розглядаються в рамках, збереження державного „могутності мають зовнішню схожість із знаменитим „категоричним імперативом „І. Канта поступай так, щоб максима твого вчинку мислилася світовим законом.” М.1 Каплан „правила „ політичної поведінки формулює так:

1. дій так, щоб збільшити свій бойовий потенціал, але вступай в nepero-J злодії всякий раз, щоб уникнути війни вступай у війну, якщо без цього буде упущена можливість збільшити свій бойовий потенціал;
2. припиняй військові дії, якщо виникла загроза ліквідації основної національної дійової особи;
3. надай протидію будь-якої коаліції або дійовій особі, яка прагне оволодіти пануючим положенням в системі;
4. надай стримуюче вплив на дійових осіб, які керуються наднаціональними організаційними принципами;
5. дозволяй переможеним або стримуваним основним національним діючим особам приєднатися знов до системи як прийнятні ролеві партнери або ж допомагай збільшити свій статус якому-небудь з дійових осіб, доти неосновних. Поводься зі всіма дійовими особами як з прийнятними партнерами по ролі і т.п. На думку М. Каштана орієнтація учасника світової політики, що дотримується подібних правил, є оптимальній з погляду досягнення безпеці.

      Відома  нам критика макромоделей світової політики, подібної моделі М. Каплана, зводиться по суті лише до неповноти  систем, що використовуються. Так, за словами  керівника Центру стратегічних і  міжнародних досліджень Джоржтаунського  університету М. Самюэлса помилка американських політичних діячів у визначенні поняття „національна безпека” полягає в тому, що вони, враховуючи військову потужність, ігнорують економічний аспект проблеми. Фахівці вказаного центру пропонують алгебраїчну модель „сукупної могутності держави у вигляді формули:

      де  Р_р - „сукупна могутність держави”; C - критична маса (сума коефіцієнтів чисельності населення і площі території країни); Е - экономическая1 потужність; М- військова потужність; S - стратегічна мета держави; W- бажання населення слідувати існуючій в країні стратегії .

      У свою чергу, фахівці з Міжамериканського  військового коледжу пропонують ввести додатково показник Р - силу переконання політичного керівництва  країни, його здатність повести за собою не тільки населення власної країни, але і союзників. Цей показник пропонується ввести як адитивна компоненти в другий співмножник приведеної формули.

       1.2.5. Простір індикаторів  в системі міжнародних  відносин: основні  задачі метатеорії 

      Як  вже наголошувалося, погоджувати  результати політичних досліджень, одержаних по різних системах індикаторів, можна таким чином. Системи індикаторів є різними підмножинами якоїсь однієї універсальної множини, яка, очевидно, нескінченна. Кожна задача аналізу ситуації з фіксованим набором індикаторів відповідає вибору деякої кінцевої (фінітного) підмножини з вказаного універсуму.

      Залежно від виду цього універсуму виникають  три основні моделі:

1. Як початковий універсум береться деяка кінцева множина, тоді кожній підсистемі показників відповідає деяка підмножина, що є носієм всіх функцій, визначених на цій підмножині (і рівних нулю зовні нього). Політичний об'єкт, що характеризується у вибраній системі показників, є фінітну функцією, визначеною на деякій підмножині універсуму. Разом з цією функцією можна розглядати її дискретне перетворення Фур’є. Можливий і подвійний підхід - кожній такій функції може бути поставлений у відповідність дискретний ряд Фурье, коефіцієнти якого рівні відповідним значенням функції.
2. Як початковий універсум вибирається відрізок прямою. Політичним об'єктам в цьому випадку відповідатимуть фінітні функції, визначені на відрізку. Виникаючі задачі можуть бути досліджені апаратом рядів Фур’є.
3. Нарешті, як початковий універсум береться вся речовинна. Властивості фінітних на прямій функцій можуть бути досліджені інтегралом Фур’є (або перетворенням Фур’є). В окремому випадку дискретного спектру виникають ряди по рахунковій множині взагалі кажучи нецілих показників - в цьому випадку застосуємо апарат майже періодичних функцій.