Економіко – математичне моделювання

      „в XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідувати науку, особливо) у зв'язку з потребами вищої освіти ... повело до ревізії основ математики з'ясуванню понять межі. Таким чином, XIX не тільки став епохою нових успіхів, але і був ознаменований плідним поверненням до класичного ідеалі точності і строгості доказів. „ Зараз, озираючись назад, важко дати об'єктивну оцінку позицій всіх сторін, що сперечаються, і аналіз всі XVIII труднощів, що стоять перед математиками, можна лише з певним ступенем упевненості сказати, що основне питання в полеміці Ейлера і Д'Аламбера було таким якщо відхилювати струну довільним чином, то чи існує формула, що дає її форму? Рішення цього питання немає ні у Ейлера і Д' Аламбера, ні в більш пізніх роботах Бернуллі і Лагранжа. Питання актуальне дотепер. „суперечка про звучну струну все ще триває, тільки, зрозуміло, вже зовсім в іншій науковій обстановці, іншими особами і в іншій термінології”. Безперервне поглиблення поняття функції і його еволюція продовжується і понині. Жодне формальне визначення, як пише Н.Н. Лузін, не може охопити всього зміст поняття функції, засвоїти яке можна лише прослідивши основні лінії розвитку, пов'язаного з розвитком природознавства, зокрема, математичної фізики. Нас цікавить, природно, таке питання: коли, на якому етапі свого розвитку поняття функції і тригонометричного ряду стикуються між собою! даючи могутній апарат аналітичного уявлення на додаток до служимо шему роками вірним і, мабуть, єдиним засобом аналітичного уявлення - апарату статечних рядів?

      Тригонометричні ряди як такі мають свою історію, висхідну до Ейлеру. В листі до Гольдбаха  в 1744 р. Ейлер наводить приклад розкладання:

      одержуючи його методом статечних рядів. „поява вказаного ряду у Ейлере була справою  чисто випадковим і в усякому  разі нічого по суті для розуміння природи і характеру, а також можливості уявності довільних функцій тригонометричними рядами не давало. Ейлер тут стояв на чисто аналітичній точці зору.”5

      Поява тригонометричних рядів у Ейлера, як рахує А.Б. Паплаускас має прикладний характер, а самі ряди були лише інструментом дослідження різних питань астрономії, зокрема, небесної механіки. Тому Ейлер і не піднімає питань обгрунтовування збіжності і розкладності. Узгодження на практиці одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на інші розкладання. „часто говорять, що Ейлер... інстинктивно знаходив тільки правильні результати, хоча і слідуючи помилковим шляхом: але сказати це - значить дуже багато: математика перейшла до свого порядку денного через свої неправильні результати”.

      Досліди із звучною струною з'явилися  тим пробним, на якому перевірялася концепція Д. Бернуллі. Вони поколивали його первинну думку про існування  тільки головних коливань, приводячи  до відкриття принципу суперпозиції, д. Бернуллі знайшов, що найзагальніший рух струни описується виразом

      Тут основний тон визначається першій складовій, їй відповідає період Т,=2 I/a, іншим відповідають періоди Т₂=1/2Т₁, і т.д. Рішення, повне фізичного змісту, перевірене експериментом і що узгоджується з миючими вченням про обертони, привело Д. Бернулли до переконання, що всі рішення Д’Аламбера і Ейлера охоплюються цим. Таким чином, виникнувши з прикладних задач тригонометричні ряди знаходили в практиці як своє непряме обгрунтовування, так і місце додатку.

      Робота  Бернуллі була піддана критиці як з боку Ейлера, так і з боку Д’Аламбера. Ніхто не вірив, що за допомогою тригонометричних рядів можна представляти будь-які функції, задані графічно. Позначалася відсутність чіткого поняття функції (у всіх були різні думки), і дуже сильно тиснув на все нове важкий вантаж аналітичного уявлення статечними рядами, що служили протягом років єдиним засобом аналітичного уявлення.

      Свіжий  струмінь вдихнув Лагранж, застосувавши новий, відкритий ним метод. Одержавши  результат Бернуллі аналітичним чином і частина результатів Ейлера, він проте не зміг їх строго обгрунтувати, змішуючи поняття великого і бесконечного, дискретного і безперервного, не обгрунтовувавши постійні переходи до межі. Д'Аламбер критикував нестрогість міркувань Лагранжа, його тези „...ні одна людина, замінивши ряд 1 + х + х² +... на 1/(1 -х ) ще не вчинив помилку”, „...природа не може зупинити викладень, оскільки фізично кутових крапок у струни немає, а завжди є той, що деяка закруглює, викликана жорсткістю струни”.

      Лагранж майже дійшов до формул Фур’є, але так і не відкрив їх. В 1807 р. Французький математик і фізик Жан Батист Фур’є в роботах по аналітичній теорії тепла вказав, що зв'язні лінії, задані на кінцевих ділянках рівняннями, уявних на будь-якій такій ділянці тригонометричним рядом

      Тим самим всі Ейлерові криві, накреслені вільним рухом руки, виявилися  охопленими апаратом тригонометричних рядів. Згладилася невідповідність  між уявленням про функціональну  залежність і обмеженістю аналітичних  засобів їх виразу. Відкриття Фур’є поставило крапку в багаторічній суперечці про струну і послужило великим поштовхом до подальшого розвитку поняття функції і аналізу в цілому.

      Необхідно відзначити, що поява парових машин, різних систем і механізмів, пов'язаних з періодичними процесами, поставлена безліч практичних задач, непіддатливих рішенню старими методами, виявивши тим самим потребу у відповідному аналітичному апараті. Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур’є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілому. Подальший розвиток цього апарату йшов по лінії додатків всередині самому математики.

      З сучасної точки зору цей факт є  однією із закономірностей процесу  творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадку величезного практичного матеріалу і аналітичної техніки XVII-XVHM століть) через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, що служать основою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеної індуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеггі Кантора, Веєрштрасса.

      Слід  зазначити, що відкриття Фур’є стоїть на шляху відвернення від таких  властивостей функцій як аналітичність, гладкість, зображена єдиним аналітичним  виразом, збереженням властивостей, що мають місце в деякій околиці на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функцій має, на наш погляд, дві тенденції.

      Одна  з них виявляється в подальшому підвищенні рівня абстракції, відвернення  від приватних властивостей, таких  як безперервність, вимірність в значенні Бореля, інтегрується. Це приводить Лебега до створення нового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, основними, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупностям властивостей, конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінного і Веєрштрасса, Мітгаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна, очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класу функцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати, наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деяких приватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертові простори L^p підсумовуваних функцій до нормованого і навіть метричному просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і I конкретного є однією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фурье не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне, щоб допускати вичерпну формалізацію, „...раз виникнувши, ідеї не тільки існують самостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика.”

      Відкриття Фур’є створило умови трактування  функції як відповідності вельми загального вигляду. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле  вельми близькі до сучасного. Було ясно, що поняття функції і її аналітичного виразу апріорі не адекватні. Основні питання, що виникли після відкриття Фур’є - це питання збіжності і можливості представлення функції рядами - вже для своєї коректної постановки зажадали введення нових понять. Приклад безперервної функції з рядом Фур’є, що не всюди сходиться, даний Дю-Буа-Раймондом, поставив природне питання: якщо вже для безперервних функцій не вдається добитися уявлення у вигляді ряду Фур’є, що усюди сходиться, то може бути слід уточнити саме поняття „уявлення”? Сприймати функцію як щось дане в завершеному стані, або вимагати можливості конструктивної побудови; які засоби допустимі як елементи конструкцій? Грубо кажучи, кривих виявилося більш ніж формул, як вже наголошувалося знов утворився розрив між арсеналом засобів аналітичної зображеної функцій і самими функціями. Слід зазначити, що в подоланні виникаючих утруднень і зароджуються нові методи, які представляють якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позиціях того, що математика розвивалася і якісно розвиватиметься, що неминучі ті, що революціонізували, відкриття, що надовго визначають напрями розвитку математики, а, отже, неминучі парадокси і суперечності. Можна привести багато прикладів „мертвих” розділів науки, які раптом „оживали” (наприклад, теорія магнетизму у фізиці). Проте, тезу про безперечну наявність постійних якісних стрибків в розвитку слід застосовувати лише до достатньо широких, змістовних областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвивається, окремі її ділянки можуть деградувати). На питання про можливість відкриття” в проективної геометрії, що „революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням основної задачі зображеної функції тригонометричним рядом Фур’є дали плідну їжу для розвитку різних розділів математики.

      Які ж шляхи подальшого розвитку функціональної залежності, її сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного і субстанціонального статусів функції - ці проблеми завжди виникають навкруги будь-якого змістовного поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а також приклади Веєрштрасса і Ван-дер-Вардена спонукали математиків до розгляду і більш загальних функцій, ніж безперервні або входять в класифікацію Бера. нерозуміння і недовір'я панувало в кругах старих консервативних математиків.

      „ Я з жахом і огидою відвертаюся  від цієї розростаючої язви функцій, похідної”-, що не мають, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла  і заходи Лебега) спричинило за собою появу нових функціональних просторів і видів сходи-Мости. В роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для яких збіжність ряду Фур’є безумовно гарантована. Тригонометричні ряди виявляють цікаві властивості (явище Гібса, принцип локалізації), нарешті „наводиться теорія” на диференціювання і інтеграцію тригонометричних рядів, що зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Римана намічає нові підходи до загальних тригонометричних рядів. Надзвичайно тонкі технічні методи дозволили Д.Е. Меньшову майже остаточно вирішити питання про зображену функції тригонометричним рядом, а також питання про цілісність.

      В 1905 р. А. Лебег ввів поняття аналітично зображеної функції, як Функції, значення якої виходять з аргументу і постійних величин за допомогою арифметичних операцій і граничних переходів. Приклад А. Лебега, ті. Створення такого апарату, саме, апарату тригонометричних рядів в роботах Фур’є історично дав новий стимул в розвитку математики в цілій. Подальший розвиток цього апарату йшов по лінії додатків усередині самої математики.

      З сучасної точки зору цей факт є  однією із закономірностей процесу  творчого мислення, коли від індуктивного синтезу (в даному випадку величезного  практичного матеріалу і аналітичної  техніки XVII-XVIM століть) через стадію аксіоматизації (тобто створення визначень, аксіом, які слугують основою теорії, що розвивається) слідує перехід до додатків створеної індуктивної теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеге, Кантора, Веєрштраса.

      Слід  зазначити, що відкриття Фур’є стоїть на шляху відвернення від таких  властивостей функцій як аналітичність, гладкість, зображена єдиним аналітичним  виразом, збереженням властивостей, що мають місце в деякій околиці  на всю область визначення. Подальший розвиток теорії функцій має, на наш погляд, дві тенденції.

      Одна  з них виявляється в подальшому підвищенні рівня абстракції, відвернення  від приватних властивостей, таких  як безперервність, вимірність в значенні; Бореля, інтегрується. Це приводить  Лебега до створення нового інтеграла, Лузіна до нового поняття первісної, Цермело до понять, що є, в аксіоматиці теорії функцій і множин. З другого боку, видне прагнення індивідуалізуватися деякі класи функцій по сукупності властивостей, конкретизувати об'єкти, що вивчаються. Відзначимо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про виділення класів функцій речовинного змінного і Веєрштраса, Міттаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячи достатньо загальні властивості функцій, не можна, очевидно, приписати їх взагалі всім функціям, тобто йде конкретизація класу функцій по знайденій властивості. Нарешті, в математиці завжди бажано знати, наскільки даний клас функцій можна розширити, якщо абстрагуватися від деяких приватних властивостей. Так, наприклад, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітичних, гармонійних до квазігармонійних гільбертового простору L² підсумовуваних функцій до нормованого L^p (p > 1) і навіть метричному L^p (0 < р < 1) просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного і конкретного є однією з внутрішніх причин розвитку математики. Але відкриття Фур’є не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча і дозволило більшість проблем. І не тільки тому, що (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) поняття функції достатньо змістовне, щоб допускати вичерпну формалізацію, „...раз виникнувши, ідеї не тільки існують самостійно, але і можуть породжувати нові ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язки придбавають величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика"