Шпаргалка по "Финансовой математике"

  PV_pre^a= PV_pst^a(1+r) или

  PV_pre^a=A(1+r)(1-(1+r)^-n)/r)=A(1+r)FM4(r,n)

40. Оценка бессрочного  анн-та. Логика и область применения  фин. операции.

Анн-т называют бессрочным, если число его членов не ограничено или достаточно велико (>50 лет).

Характерный пример –  консоли (выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят ежегодные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока).

В данном случае прямая задача как правило не имеет смысла.

Обратная задача –  определение приведенной стоимости: PV^a=A/r.

Практическая область  применения связана с оценкой  целесообразности приобретения анн-та и оценкой предельно допустимой суммы инвестиций в сравнении с альтернативным банковским вложением рентного типа.

Классическим примером такого вложения является банковский бессрочный текущий счет, %-й доход по которому полностью изымается сразу после его начисления. В этом случае основная сумма вклада «зарабатывает» деньги на предстоящий год, а срок жизни инвестиции не ограничен. 

 

41. Метод депозитной  книжки (МДК). Логика и область применения фин. операции. Графическая иллюстрация.

Интерпретация текущей  стоимости анн-та м.б. представлена с использованием МДК.

Денежные средства, помещенные на депозит приносят доход в виде %. Снятие определенной суммы со счета ведет к уменьшению базовой величины, с которой начисляются проценты. Данная ситуация аналогична экономической природе функционирования аннуитетов.

С позиции МДК текущая  стоимость анн-та представляет собой величину депозита с общей суммой причитающихся %-в, ежегодно уменьшающуюся на равные суммы. Обычно эта сумма годового платежа включает начисленные за данный период %-ты и некоторую часть основной суммы первоначального долга. Погашение базовой величины долга происходит постепенно в течение всего срока действия анн-та. В этом случае структура годового платежа изменяется в течение всего процесса фин. операции, а именно постепенно уменьшается доля %-х платежей и увеличивается доля погашаемой части основного долга.

Логика МДК обычно излагается с позиции кредитора. Для банка данный фин. контракт представляет собой инвестицию, т.е. отток ден. средств. Затем в течение определенного периода банк будет ежегодно получать в конце года сумму платежа, которая будет включать % за истекший год и часть основной суммы долга.

МДК может применяться  при прогнозировании ден. потоков, он позволяет рассчитать общую сумму процентных платежей, величину %-го платежа в определенном периоде, долю кредита, погашенную в первые несколько лет и т.д.

42. Оценка переменного  анн-та с постоянным изменением его членов во времени. Будущая и приведенная стоимость анн-та пост- и пренумерандо.

Частным случаем переменного  анн-та является рента, члены которой изменяются в соответствии с некоторыми законами. В таких случаях для оценки анн-та используются соответствующие упрощенные формулы.

Предположим, имеется  анн-т pst, платежи которого образуют арифметическую прогрессию с первым членом А и разностью z, если число периодов n, r - % ставка за базовый период, в соответствии с которой один раз в конце периода начисляются сложные %, то наращенный ден. поток будет иметь вид:

A(1+r)^n-1; (A+z)(1+r)^n-2; (A+2z)(1+r)^n-3;…;  A+(n-1)z.

Если   z >0, то члены анн-та возрастают. Если z<0, то убывают.

Наращенная сумма анн-та pst:

 FV_pst^a=(A+z/r)(((1+r)ⁿ-1)/r)-zn/r

 или   F_pst^a=(A+z/r)FM(r,n)-zn/r

Приведенная стоимость  анн-та pst:

 PV_pst^a=(A+z/r)((1-(1+r)^-n)/r)-zn/(r(1+r)ⁿ) или PV_pst^a=(A+z/r)FM(r,n)-zn/(r(1+r)ⁿ).

Оценки анн-та pre:

FV_pre^a= FV_pst^a(1+r); PV_pre^a= PV_pst^a(1+r)

43. Оценка переменного  аннуитета с постоянным относительным  изменением его членов во времени.

Пусть платежи в анн-те pst образуют геометрическую прогрессию с первым членом А и знаменателем q. Если r- % ставка, n – число периодов, в конце каждого периода начисляются сложные %.

Наращенный поток имеет  вид: A(1+r)^n-1; Aq(1+r)^n-2;…; Aq^n-2(1+r); Aq^n-1, т.е. представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом A(1+r)^n-1 и знаменателем q/(1+r), где q- темп роста за период.

Тогда наращенная сумма членов такой прогрессии будет равна:

FV_pst^a=A(1+r)^n-1(q/(1+r)ⁿ-1)/(q/(1+r)-1)=

         =A(qⁿ-(1+r)ⁿ)/(q-(1+r)).

Современная стоимость: PV_pst^a= A/(1+r)ⁿ * (qⁿ-(1+r)ⁿ)/(q-(1+r)).

 

44. Конверсия  аннуитетов. Логика и область  применения финансовой операции.

На практике возможны ситуации, когда необходимо изменить условия выплаты ренты. Существуют различные варианты изменения условий. Например, изменение сроков, величины платежей и др.

Конверсия анн-в основывается на принципе финансовой эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Принцип эквивалентности позволяет изменять условия контрактов без нарушения принятых финансовых обязательств и изменения финансовых последствий для каждой из участвующих сторон.

Конверсия анн-в означает такое преобразование начальных параметров анн-та, после которого новый анн-т эквивалентен прежнему.

45. Основные  виды конверсии анн-в: выкуп ренты и рассрочка платежей.

Выкуп ренты. Означает замену анн-та единовременным платежом. Искомый размер выкупа должен быть равен современной стоимости выкупаемой ренты.

Рассрочка платежей. Предполагает задачу, обратную выкупу анн-та и означает замену единовременного платежа анн-м. Для решения задачи приравнивают современную стоимость анн-та, с помощью которого производится рассрочка, к сумме долга. Задача обычно заключается в определении одного из параметров ренты при условии, что остальные параметры заданы.

46. Основные  виды конверсии анн-в: консолидация  и изменение параметров ренты.

Консолидация (объединение) анн-в. Замена нескольких анн-в на один, параметры которого необходимо определить.

В этом случае в соответствии с принципом фин. эквивалентности определяется сумма приведенных стоимостей консолидируемых анн-в, а затем подбирается с необходимыми параметрами анн-т, приведенная стоимость которого равна полученной сумме: PV^a=PV^a₁+PV^a₂+PV^a₃…

Объединенные ренты  м.б. любыми. Для заменяющей ренты необходимо четко определить ее вид и все параметры, кроме одного, который рассчитывается (обычно это величина платежа или срок ренты).

Изменение параметров ренты. Изменение хотя бы одного условия  анн-та по сути означает замену одного анн-та на другой. Наиболее распространенным случаем является изменение периода выплаты долга при сохранении прежней ставки.

Расчет параметров нового анн-та проводится исходя из условия  эквивалентности анн-в. PV^a=PV^a’. Тогда: A₁=A(1-(1+r)^-n)/(1-(1+r)^-n1).

Очевидно, что если срок нового анн-та n₁ увеличится, значение А₁ сократится и наоборот.

47. Потребительский кредит и способы погашения

Потребительский (личный) кредит – который предоставляет банк, финансовая компания или розничный торговец отдельному человеку на потребительские цели.

Существуют различные  способы погашения кредита.

1. начисление % на всю  сумму кредита и присоединение их к основному долгу в момент открытия кредита. Погашение долга с процентами происходит равными величинами в течение всего срока кредита.

F=P(1+nr) q=F/(nm)

2. учитывается, что  долг не является постоянной  величиной, а с течением времени уменьшается и %-е платежи рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам долг выплачивается равными суммами.

48. Погашение потребител. кредита. Применение «правила 78». Схема с убыв. величиной % платежа.

При погашении потребительского кредита  равными платежами может возникнуть задача определения доли каждой выплаты, идущей на погашение основного долга и идущей на погашение начисленных %. Для составления плана выплат пользуются «правилом 78».

78=1+2+3+…+12 (т.к. в году 12 месяцев и платежи часто осуществляются ежемесячно). К=(1+к)к/2.

Необходимо последовательно брать дроби к/К, (к-1)/К до 1/К включительно.

1 платеж: 1)на выплату 12/78 от общей начисленной величины процентов(I)

                   2)q-12/78I – в счет основного долга.

Схема играет двоякую  роль: 1) с течением времени происходит погашение основной суммы долга, поэтому и сумма процентов, начисленных на уменьшаемый остаток долга, должна снижаться

                                                 2) при досрочном погашении долга заемщик понесет определенный убыток, т.к. большую часть %-в заплатит вначале срока кредитования.

Формально при составлении планов погашения кредита можно использовать любую последовательность дробей, лишь бы их сумма была равна единице.

С помощью правила заемщик может приблизительно узнать, какую сумму в счет оплаты процентов ему не придется отдавать в случае возврата кредита раньше срока. Т.е если было запланировано k платежей, а после m-го платежа было принято решение возвратить кредит, то не придется выплачивать сумму M*I/K где М=1+2+3+…(k-m)

49. Составление плана  погашения кредита по второму способу.

Учитывается, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается и %-е платежи рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам долг выплачивается равными суммами.

Пусть погасительные платежи вносятся каждые l месяцев, т.е. 12/l раз в год. Всего платежей – k=12*n/l. Тогда за первые l месяцев начисляются % в размере I₁=Plr/12=Pnr/k

За следующие l месяцев начисляются % на остаток долга I₂=(P-P/k)lr/12=I₁((k-1)/k)

Общая величина %-х выплат равна  сумме этих процентных платежей:

I=(k+1)Pnr/2k

Положительное свойство способа - простота расчетов. Однако срочные уплаты при этом методы в начале срока погашения выше, чем в конце.

 

50. Экономический смысл дисконтирования.

Экономический смысл операции дисконтирования заключается во временном упорядочении ден. потоков различных временных периодов при заданной %-й ставке.

Эконом. смысл  банковского дисконтирования для владельца ценной бумаги состоит в досрочной ее реализации в соответствии с его интересами. Для банка экономическая эффективность будет достигнута при приобретении векселя по цене ниже номинальной.

Эконом. смысл математического  дисконтирования заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет с позиции текущего момента будет <=Р. это означает, что для инвестора сумма Р в данный момент времени и F через n лет одинаковы по своей ценности.