Шпаргалка по "Финансовой математике"

При определении продолжительности  периода (t) на который выдана ссуда также возможны два варианта измерения: приближенно и точно.

1. Точный метод определения t

состоит в расчете  фактического числа дней между двумя датами, а именно, датой выдачи ссуды (датой перечисления со счета банка) и датой ее погашения (датой зачисления средств на счет в банке). Точное число дней пользования ссудой определяется по календарю. Для упрощения процедуры расчета пользуются специальными таблицами (1 для обычного года, 2-я для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. По таблице продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня ссуды.

2. Приближенный метод определения t состоит в том, что число дней пользования ссудой определяется исходя из продолжительности месяца в 30 дней, т.е. суммированием количества полных месяцев по 30 дней каждый, дней первого и последнего месяца и вычитанием одного дня (дата выдачи и дата погашения ссуды считается за один день).

21. Варианты  расчета простых процентов по  краткосрочным ссудам

1) Точные проценты с точным  числом дней ссуды: этот вариант  обеспечивает наиболее точные  расчеты, поэтому в зарубежной практике применяется центральными банками и крупными коммерческими. Данный вариант расчетов обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ (actual).

2) Обыкновенные проценты с точным  числом дней ссуды: из-за широкого  применения на практике иногда  называется банковским. Распространен  в межстрановых ссудных операциях коммерч. Банков, а также во внутристрановых расчетах. Обозн.: 365/360 или АСТ/360. Этот вариант обеспечивает несколько больший результат, чем применение точных %в, поскольку при числе дней ссуды больше 360 данный способ приводит к тому, что сумма начисленных %в будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.

3) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды: применяется, когда не требуется большой точности, напр. при промежуточных расчетах, при частичном погашении ссуды. В частности, дан. метод принят в практике расчетов коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Обозн.: 360/360.

Обыкновенные проценты применяются как правило в операциях с векселями. Точные проценты используются в официальных методиках центрального банка РФ и министерства финансов РФ для расчета доходности по государственным обязательствам. При этом эффект от выбора того или иного варианта расчета зависит от величины суммы фин. операции, но при этом использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды дает больший результат, чем применение точных процентов с точным числом дней ссуды.

22. Начисление процентов при изменении суммы депозита, процентные числа 
23. Непрерывное начисление процентов

Все рассмотренные начисляемые  проценты относятся к дискретным, т.к. их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени. Уменьшая промежуток времени и увеличивая частоту начисления %, при деле можно прийти к непрерывным %

Непрерывное начисление %в относится  к внутригодовым %м начисления. Однако в фин. мат-ке рассматривается с теоретической точки зрения для того, чтобы показать зависимость темпов роста накопленной суммы ден.средств от частоты начислений.

Оставляя неизменной величину годовой номинальной проц. ставки r и увеличивая число начислений сложных %в m, то осуществляется максимально возможное наращение при бесконечном дроблении годового интервала.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной или дискретной ставки, вводится спец обозначение непрерывной ставки сила роста.

Сила роста – номин год  ставка при непрерывном начислении процентов.

24. Дисконтирование по простым процентам

В практике фин-эк расчетов может возникнуть и обратная задача, а именно по известной будущей сумме F определить объем размещенных средств P. Виды дисконтирования:

1) математическое, если при вычислении величины Р на основе F используется ссудный процент

2) банковское, если используется  учетный процент

25. Математическое  дисконтирование. Постановка задачи мат дисконтирования

Мат дисконтирование – процесс, обратный наращению первоначального  капитала, при котором решается задача нахождения такой величины капитала Р, которое через n лет при наращении по простым %м при ставке r будет равна F. Т.о. Р является приведенной стоимостью величины F.

Р – предоставляемая в долг сумма

F – возвращаемая сумма,r- ставка простых %в

n- продолжительность финн операции в годах

t- продолжительность финн операции в днях

T- количество дней в году

- дисконт фактор (дисконт множитель), который показывает долю капитала  P в F. Доход:

26.Банковское  дисконтирование. 

На практике чаще используют банковское дисконтирование (коммерческий учет) по простой ставке d,т.е. по учетной ставке.

   Расчетную формулу  для вычислений этих %ов получают след.образом: пусть с занимаемого 1руб. берется годовая дисконтная (авансовая) ставка d,тогда должник получает на руки ∑1-d и по истечении срока должен вернуть 1 руб. Т.е., если 1-d обращается в 1руб., то во что обходится 1 руб. через год. Решим пропорцию:   => F= ,где F- ,будущая ст.ть, 1руб.-настояща(современная) ст.ть=> => P=F(1-d)=>P=F-Fd или за ряд нет n: P=F-Fnd=>P=F(1-nd)- банковское дисконтирование

P – предоставляемая в долг ∑;

F – возвращаемая ∑ (наращенный капитал);

n – продолжительность финансовой операции в годах;

t - -//- в днях;

T – количество дней в году.

27.  фин операции  по учету векселей

Банковское дисконтирование  по простым %ам широко применяется на практике, в финансовых операциях по учету векселей.

   Вексель явл.-ся  письменным безусловным обязательством векселедателя (заемщика) выплатить в установленный срок определенную ∑предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе.

Сущ.-ют различные виды векселей. Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда банку приходится иметь дело с ∑ к погашению. В этом случае владелец векселя на ∑F предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить его. Данная финансовая операция носит название учет векселя. Рассмотрим логику формирования дохода банка при учете векселя. Примем след. обозначения:

P – ст.ть векселя в момент его оформления;

P1-  теоретическая (срочная) ст.ть векселя в момент его учета;

P2 – предлагаемая банком ∑ в обмен на вексель;

 F – ст.ть векселя к погашению;

D0 – общий доход банка от операции.

P1 постоянно возрастает на ∑ причитающихся за истекший период %ов r, уровень кот. Согласовывается между векселедателем и векселедержателем:

P1=P(1+ r), где t – период времени с момента оформления векселя до момента его учета в банке в днях.

T – продолжительность года в днях.

Стоимость векселя к погашению F рассчитывается аналогично:

F=P(1+ r), где t – период времени с момента оформления векселя до момента его погашения в днях.

Учитывая вексель в  банке его владелец теоретически мог бы рассчитывать на ∑P1. Однако за оказываемую услугу банк берет комиссионные в размере D2: D2=P1-P2, где P2 – предлагаемая банком ∑ в обмен на вексель кот. Определяется как:

P2=F-F d= F(1- d)     t=(x-t), где 1- d – дисконтный множитель (коэффициент дисконтирования); d – объявленная банком ставка дисконтирования (учетная ставка). 
F d – дисконт, кот. Представляет собой %ты, начисляемые за время t от дня дисконтирования до дня погашения векселя на ∑ F, подлежащую уплату в конце срока.

Т.о., векселедателю досрочно выплачивается обозначенная в векселе ∑ за вычетом %ов, удерживаемых банков в свою пользу (дисконта).

Общий доход банка  при учете векселей складывается из 2х частей:

1)%ов по векселю,  причитающихся за время, оставшееся до момента погашения векселя; D1

2)комиссионных, удерживаемых  банком за предоставленную услугу. D2

Т.к величина %ов по векселю  в период с момента учета до момента погашения фиксирована  уровнем %ой ставки r, то доход банка составит величину D1, определяющую как разность: D1=F-P1

Банк может изменять только размер комиссионных путем изменения учетной ставки. Этот доход рассчитывается как D2.

Ошибочно предполагать, что потери векселедателя составляет величину F-P2, т.к. с момента учета векселя кредитором становится банк и ему теперь причитаются %ты за период с момента учета до момента погашения векселя. Реальные же потери векселедателя составляют величину D2.

Экономический смысл  банковского дисконтирования для владельца ц.б. состоит в досрочной ее реализации в соответствии с его интересами. Для банка эконом. Эфф.ть будет достигнута при приобретении векселя по цене ниже номинальной. Чем объясняется необходимость расчета стоимости ценной бумаги  на момент досрочной ее реализации.

 

28. Эквивалентность  ссудных и учетных простых ставок.

Определим соотношение простых и учетных ставок r и d при условии равенства выплачиваемых доходов. Доход, выплачиваемый при декурсивном %те определяется как: S=Pnr

Доход, выплачиваемый  при антисипативном %те: D=Fnd

S=D=>Pnr=Fnd=> r= d=

Данные формулы выводятся из предположения, что исходная ∑D и производимые ∑F равны. Поэтому ставки r и d в данном случае является эквивалентными и приносят одинаковый доход при начислении %ов за одинаковый промежуток времени.

На практике это означает, что с т.з. сторон, т.е. участников фин.ой операции  безразлично каким именно образом осуществлять расчеты.

Если срок фин.ой операции выражен в днях, а ставка задана годовая, то формулы записываются:

r=      d=

Эквивалентные ставки применяются для сопоставления доходности различных вариантов сделок при изменении условий расчетов.

 

29. Дисконтирование  по сложной процентной ставке.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является ли это вложение при допустимом уровне риска более прибыльным, чем вложения в государственные ценные бумаги.

В этом случае анализируют  будущие доходы при минимальном безопасном уровне доходности и используют методы, суть которых состоит в оценке будущих поступлений F в виде прибыли, процентов, дивидендов с позиции текущего момента.

При этом, осуществляя  финансовые вложения, инвестор учитывает след-е факторы: 1)инфляцию 2)темп изменения цен на сырье, материалы, ОС, используемые предприятием, который может существенно отличаться от темпа инфляции 3) возможность периодического начисления или поступления дохода, причем в размере не ниже определенного минимума.

Основываясь на этих факторах, инвестор должен оценить, каковы будут его доходы в будущем и какова максимально возможная сумма вложений, исходя из прогнозируемого уровня рентабельности.

Математическое дисконтирование осуществляется по формуле:

Экономический смысл  математического дисконтирования заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет с позиции текущего момента будет >=P. Это означает, что инвестора сумма Р в данный момент времени и F через n лет одинаковы по своей ценности.

- множитель дисконтирования  (дисконтный множитель). Множитель  дисконтирования можно представить как коэффициент дисконтирования 1/(1+r). Экономический смысл дисконтного множителя: он показывает сегодняшнюю цену одной ден. единицы будущего. Данный множитель называется также фактором текущей стоимости будущего капитала. Значения дисконтируемого множителя табулированы в зависимости от ставки дисконтирования r и периода дисконтирования n. Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке имеет  прикладное значение в проектном анализе для приведения сумм денег по состоянию на различные даты к одному требуемому моменту времени.

При m-кратном начислении процентов в год по ставке r^(m)=r:

Банковское дисконтирование по сложной ставке: P=F(1-d)ⁿ d-учетная ставка, n – срок до конца финансовой операции, равный числу раз учета.

 Данный вид дисконтирования  имеет узкую специальную область применения при неоднократном учете (учете и переучете) дисконтируемых ценных бумаг на одинаковых условиях.

 

 

30. Сравнение  форм финансово-экономических расчетов. Формы расчетов будущей стоимости по простым и сложным ссудным и учетным процентам.

Определить, какая из форм расчетов (наращение или дисконтирование) наиболее выгодна для кредитора или заемщика, можно в результате сравнения финансово-экономических результатов этих операций. Формы расчетов будущей стоимости: 1) простая декурсивная ставка r: F=P(1+nr) 2) сложная декурсивная ставка r: F=P(1+r)ⁿ 3)простая учетная (авансовая) ставка d : F=P/(1-nd) 4) сложная учетная ставка d: F=P/(1-d)ⁿ

В операциях наращения  использование различных ставок приводит в одних и тех же операциях к разным результатам, для сопоставления которых сравнивают между собой соответствующие множителя наращения: