Шпаргалка по "Финансовой математике"

1) если 0<n<1, то

 

2) если n=1, то

3) если n>1, то

  Т.о., если срок менее 1 года, то наращение по сложной учетной ставке d, которая в свою очередь предпочтительнее наращения по простой учетной ставке d, которая в свою очередь предпочтительнее наращения по простой и сложной процентной ставке r.

Неравенство для множителей дисконтирования: по простым ставкам: 1) матем-е дисконтирование (r):P=F/(1+nr) 2)банковское дисконтирование (d): P=F/(1-nd) по сложным ставкам: 1) ссудный процент (r): P=F/(1+r)ⁿ  2) учетный процент (d): P=F/(1-d)ⁿ

Сравнение множителей дисконтирования:

1) если 0<n<1, то

 

2) n=1

3) если n>1, то

   
31. Наращение по учетной ставке.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы, в частности при определении суммы, которую нужно поставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае: F= P/(1-nd). Величина 1/(1-nd) – множитель наращения, который равен индексу роста капитала Р за время n и является обратной величиной коэффициента  дисконтирования.

Сложная учетная ставка может быть использована для получения  наращенной суммы: F=P/(1-d)ⁿ

Если срок меньше года, то наращение по сложной учетной  ставке предпочтительнее наращения  по простой учетной ставке, которое в свою очередь предпочтительнее наращения по простой и сложной процентной ставке.

32. Понятие  потока платежей и элемент  потока. Регулярные и нерегулярные потоки платежей.

Современные финансовые банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсий и др.

Такую последовательность или ряд платежей называют потоком  платежей (cash flows stream-потоки наличности), хотя речь идет о потоках денег в любом виде.

Отдельный элемент такого ряда платежей называется членом потока.

Потоки могут быть: регулярные и нерегулярные. При регулярном потоке размеры платежей постоянны или следуют установленному правилу, предусматриваемому равные интервалы между платежами.

Элементы потока платежей могут быть: положительными (имеют место поступления денежных средств(денежные притоки), отрицательными (имеют место выплаты или отток денежных средств).

33. Финансовая  рента и параметры ренты.

Поток платежей, все члены  которого положительные величины, а  временные интервалы между платежами одинаковы называют финансовой рентой, просто рентой или аннуитетом (от лат. Anno-год). Рентой, например, является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Использование в финансово-банковских операциях условий предполагающих выплаты в виде финансовой ренты упрощает их количественный анализ и дает возможность стандартизировать расчеты.

Рента описывается следующими параметрами:

-Член ренты-размер  отдельного платежа

-Период ренты-временной интервал между двумя последующими платежами

-Срок ренты-время от  начала первого периода ренты  до конца последнего периода.

-Процентная ставка

При характеристике некоторых  видов ренты могут указываться  и другие условия. Например, число  платежей в году, способ и частота начисления процентов и др.

34. Классификация  рент: годовые и р-срочные, ограниченные и бесконечные, верные и условные, постоянные и переменные.

1. По количеству выплат  членов ренты на протяжении года:

-Годовые-выплата 1 раз  в год

-Р-срочные- р-количество  выплат в году

-Ренты с периодами,  превышающими год, которые иногда  применяются в анализе производственных  инвестиций.

2. По количеству членов  ренты:

-Ренты с конечным  числом платежей (ограниченные)- их  срок заранее оговорен

-Бесконечные (вечные) ренты- встречается на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что срок оговаривается конкретными датами. Например, выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.

3. По вероятности выплат:

-Верные

-Условные

Если известно точное число членов аннуитета, то он называется верным (безусловным). Верные подлежал безусловной уплате. Если количество членов аннуитета зависит от наступления некоторых событий, то аннуитет называется условным. Пример, страховые аннуитеты, в частности пенсия, выплата, которая прекращается после смерти застрахованного. В условном аннуитет может быть неизвестна и дата первого денежного поступления. Например, при выплатах, которые производятся только при наступлении страхового события, поэтому анализ условных аннуитетов- одна из задач страховой (актуарной) математики.

4. По величине платежей:

-Постоянные-с одинаковой  величиной членов ренты

-Переменные-величина  платежей изменяется во времени.

 

35. Потоки пренумерандо  и постнумерандо.

По моменту выплат платежей в переделах периода ренты классифицируется

-Потоки пренумерандо (авансовые), если платежи производятся в начале временных периодов

-Постнумерандо (обыкновенные  аннуитеты), если платежи осуществляются в конце этих периодов

На практике наибольшее распространение получил поток постнумерандо, в частности именно этот вид потока положен в основу методики анализа инвестиционных проектов.

 

36. Количественная  оценка денежного потока. Прямая и обратная задачи оценки.

Поскольку денежный поток  представляет собой n-поступлений, определенным образом распределенных во времени, появляется проблема  его суммирования для количественной оценки и сравнения.

Если величина денежного  потока определяется простым суммированием составляющих его поступлений, такую сумму называют кумулятивной. Ее расчет ведется без учета теории временной стоимости денег. Однако поскольку составляющие денежного потока представляют собой поступления в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование ошибочно. В этом случае используется методика приведения денежного потока к одному моменту времени.

Поэтому оценка денежного  потока с учетом теории временной стоимости денег означает определение приведенной стоимости потока, а денежный поток, все элементы которого приведены к одному моменту времени, называется приведенным.

Приведенная стоимость  может определяться с позиции будущего или настоящего времени. Соответственно, оценка денежного потока выполняется с позиции решения 2х задач:

1. прямой задачи, т.е. проводится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения;
2. обратной задачи, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, т.е. реализуется схема дисконтирования.

Т.о., анализ потока платежей предполагает расчет одной из обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости потока.

 

37. Оценка аннуитета  с изменяющейся величиной платежа (переменный а-т). Будущая и приведенная стоимость переменного  а-та постнумерандо.

Денежные потоки с  варьируемыми по годам поступлениями называются переменными потоками.

Пусть С₁, С₂,…, С_n – это ан-т, период которого совпадает с базовым периодом начисления % по ставке r. Требуется найти наращенную и современную его стоимость.

1. решение прямой задачи предполагает оценку на конец периода n (с позиции буд.вр.) – ан-т постнумерандо. На первое денежное поступление С₁ начисляются сложные % за (n-1) период, и оно в конце n-го периода станет равным

С₁(1+r)^n-1 и т.д. следовательно будущая стоимость переменного а-та будет определяться как величина

FV^a_pst= (1+r)^n-k,

С_к – денежные поступления к-го периода

2. решение обратной задачи. Обратная задача подразумевает оценку с позиции настоящего времени, т.е. на момент начала 1-го периода. При этом реализуется схема дисконтирования. Расчеты необходимо вести по приведенному потоку, все элементы которого с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени.

Т.о., приведенный  денежный поток для исходного  денежного потока имеет вид С₁/(1+r), C₂/(1+r)², C_n/(1+r)ⁿ. Приведенная стоимость

PV^a_pst=

Оценка с позиции  настоящего потока будущих доходов  называется капитализацией ожидаемых доходов.

 

 

 

 

38. Оценка а-та  с изменяющейся величиной платежа (переменный а-т). Будущая и приведенная стоимость переменного а-та пренумерандо.

Денежные потоки с  варьируемыми по годам поступлениями называются переменными потоками.

Пусть С₁, С₂,…, С_n – это ан-т, период которого совпадает с базовым периодом начисления % по ставке r. Требуется найти наращенную и современную его стоимость.

Оценка а-та пренумерандо производится аналогично оценке а-та постнумерандо.

При этом формулы, используемые при вычислении, отличаются из-за сдвига элемента потока к началу соответствующего периода.

1. Прямая задача

 

Будущая стоимость а-та пренумерандо.

Очевидно, что FV^a_pre=FV^a_pst(1+r)

2. Обратная задача

Приведенная стоимость  а-та пренумерандо

PV^a_pre=

PV^a_pre=PV^a_pst(1+r)

Данный метод оценки а-та справедлив и в случае произвольного денежного потока, когда временные периоды между поступлениями не равны между собой.

39. Оценка постоянного срочного а-та. Будущая и приведенная стоимость постоянного срочного а-та пост- и пренумерандо.

С₁=С₂=…=С_n=А

1. прямая задача оценки срочного а-та постнумеранда при заданной величине регулярных поступлений А и % ставке r предполагает оценку будущей стоимости а-та.

Наращенный денежный поток

А(1+r)^n-1, A(1+r)^n-2,…, A(1+r)², A(1+r), A.

Тогда, общая  формула будущей стоимости денежных потоков для оценки будущей стоимости постоянного срочного а-та постнумерандо

 

FM(r,n) – коэф-т наращения а-та, который представляет собой сумму n первых членов геом.прогрессии, начинающихся с а=1 и знаменателем q=1+r

FV^a_pst=A экономич.смысл факторного множителя заключается: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного а-та в 1 ден.ед. (напр., 1 рубль к концу срока его действия) при этом предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть осуществлено лишь по окончании срока действия а-та.

2. обратная задача оценки постоянного а-та постнумерандо. Оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента.

A – ежегодные поступления в конце временных отрезков, r – годовая % ставка, n – число лет поступлений а-та, k – соответствующий год периода начисления а-та.

FM(r,n)=(1-(1-r)^-n)/r – факторный множитель (коэффициент дисконтирования) а-та. Экономический смысл факторного множителя: показывает, чему равна «сегодняшняя» стоимость а-та в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной % ставкой r.

Оценка постоянного  а-та пренумерандо

1. поскольку денежные поступления в а-те пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот а-т отличается от а-та постнумерандо количеством периодов начисления %.

Наращенный денежный поток имеет вид 

А(1+r)ⁿ, A(1+r)^n-1,…, A(1+r)², A(1+r).

Тогда величина накопленной суммы через n лет для срочного а-та с ежегодными денежными поступлениями в начале временных периодов на условиях годового процента r запишется:

 

Наращенная сумма а-та пренумерандо в (1+r) раз больше наращенной суммы а-та постнумерандо.

Оценка постоянного анн-ты pre. Обратная задача.

Приведенный поток имеет  вид:

A; A/(1+r); A/(1+r)²…A/(1+r)^n-1.

Для расчета приведенной  стоимости анн-та пренумерандо находится приведенная стоимость соответствующего анн-та постнумерандо и затем полученное значение умножается на соответствующий множитель: