Шпаргалка по "Финансовой математике"

 

 

 

 

 

 

11. Модификации формулы простых процентов. Переменные ставки и реинвестирование.

Пусть исходный инвестируемый капитал  равен Р, требуемая норма доходности (% ставка) r (в долях единицы). Считается что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестируемый капитал увеличивается ежегодно на величину Pr . Таким образом, размер инвестируемого капитала F через n лет составит величину: F=P+Pr+…+Pr=P(1+nr)

Величина 1+nr называется множителем наращения денег. Доход кредитора S, или плата за кредит другого участника финансовой сделки. S=F-P=P(1+nr)-P=Pnr.

Финансовые соглашения могут предусматривать  не только постоянную процентную ставку на весь период действия договора, но и переменную, т.е. изменяющуюся во времени ставку.

Пусть на период n_i устанавливается процентная ставка r_i, тогда наращение капитала за этот период составит величину P_niri, если таких периодов k, т.е. i=1,2,3,…,k, то наращенная сумма за время n составит

При инвестировании средств в краткосрочные  депозиты иногда используют неоднократное последовательное повторение наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока.

Пусть на период n установлена процентная ставка r, но при изменении ставки наращения к этому моменту сумма вкладывается вновь под новый простой процент, т.е. осуществляется реинвестирование, или капитализация полученных на каждом этапе наращения средств.

Предположим, что период n₁ предшествует периоду n₂, который предшествует периоду n₃ и т.д.

Тогда через время n₁ наращенная сумма станет: F₁=P(1+n₁r₁)

После чего будет переоформлена  на следующий срок длительностью n₂. Через время n₂ наращенная сумма составит: F₂=F₁(1+n₂r₂)=P(1+n₁r₁)(1+n₂r₂) и т.д.

Рассуждая аналогичным  образом получаем формулу:

П-произведение.

Если периоды начисления процентов равны друг другу и  ставка % не изменяется во времени. Тогда формула запишется:

12. Наращение по схеме сложных процентов.

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестируемого капитала, а с общей суммы включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты.

В этом случае размер инвестируемого капитала к концу первого года составит F₁. F₁=P+P_r=P(1+r)

К концу 2 года:

к концу n-года:

Использование в расчетах сложных процентов в случае многократного начисления является более эффективным поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. Формула наращения сложных процентов получена для годовой процентной ставки r и срока измеряемого в годах n. Однако данная формула может применятся и при других периодах начисления, при этом необходимо соответствие длины периода и процентной ставки.

Для формулы сложных  процентов значения показателя (1+r)ⁿ табулированы для различных значений % ставок r и числа лет n. Тогда формулу сложных процентов можно записать: F=P∙FM₁(r;n), где FM₁(r;n) – факторный (мультиплицирующий) множитель. Экономический смысл факторного множителя заключается в следующем: он показывает чему будет равна 1 д.ед. через n-периодов при заданной сложной процентной ставке r,

Приращение капитала S:

S=F-P=P(1+r)ⁿ-P=P[(1+r)ⁿ-1]

13. Сравнение результатов расчетов наращения по схеме простых и схеме сложных процентов.

Для того, чтобы сопоставить  величины наращенных сумм по разным схемам сравнивают множители наращения.

При одинаковых уровнях  процентных ставок соотношение этих множителей зависит от срока n.

Сравним следующие соотношения  при условии, что временная база для начисления % одинакова:

-для срока менее  одного года (0<n<1)

1+nr > (1+r)ⁿ множитель простых процентов сильнее множителя сложных процентов.

-для n>1

1+nr < (1+r)ⁿ

-для n=1

1+nr=(1+r)ⁿ множители равны.

При этом следует отметить, что при n>1 с увеличением срока  различия в результатах применения простых и сложных процентов  усиливаются. Таким образом, различия в финансовых вычислениях могут быть существенны.

Сравнивая результаты вычислений в случае ежегодного начисления процентов для лица предоставляющего кредит: 1) более выгодной является схема простых процентов, если срок менее года; 2) более выгодна схема сложных процентов если срок больше года; 3) обе схемы дают одинаковый результат при периоде в один год и однократном начислении процентов.

14. Плавающие или переменные ставки сложных процентов.

Наращение сложными процентами также может предусматривать плавающие процентные ставки. В этом случае общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей. Тогда наращенная сумма составит величину F_n.

где n₁, n₂, …,n_m – следующие друг за другом периоды в течение которых действуют соответствующие ставки. r₁, r₂, …,r_m – последующие значения ставок за время n.

где

Таким образом, в течение всего  периода длительностью n можно установить процентную ставку r, обеспечивающую такой же результат как и переменные ставки. При этом для нахождения наращенной суммы можно пользоваться базовой формулой сложных процентов.

Полученной формулой можно пользоваться и в тех случаях, когда периоды выражены в различных единицах t. Необходимо только чтобы размерность каждого периода n_k ,была согласована с r_k,  а при определении длительности n общего периода все n_k должны быть выражены с помощью единицы t одинаковой для всех периодов.

15. Начисление процентов при дробном числе лет, общий и смешанный методы начисления.

При начислении процентов срок в  годах зачастую не является целым  числом лет. В правилах некоторых  коммерческих банков для определенных операций предусмотрено начисление процентов только за целое число лет. Дробная же часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. В этом случае проценты начисляются с помощью двух методов.

1. Общий метод, при котором расчеты осуществляются по схеме сложных процентов:

F=P(1+r)^w+f, где w-целое число лет, f-дробная часть года. n=w+f.

2. Смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть периода по формуле простых процентов: F=P(1+r)^w∙(1+fr)

При выборе метода расчета  следует учитывать, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему. Поскольку для n<1 множитель простых % сильнее множителя сложных процентов (1+nr)>(1+r)ⁿ.

16. Формулы удвоения, их назначение.

Наиболее наглядно влияние  вида ставки можно охарактеризовать сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы.

Определим время, необходимое  для удвоения первоначальной суммы P в k-раз при начислении простых и сложных процентов.

Так как в обоих  случаях множители наращения равны k, то для простых процентов из равенства 1+nr=k следует, n=(k-1)/r для сложных процентов: (1+r)ⁿ=k следует n=ln(k)/ln(1+r)

Из полученных значений получают так называемые формулы  удвоения.

Для вычисления периода, за который происходит удвоение первоначальной суммы при одинаковой ставке r простых и сложных процентов.

Приняв k=2, получаем:

-удвоение по простым  процентам n=1/r

-удвоение по сложным  процентам n=ln2/ln(1+r)=0,69315/ln(1+r).

 

 

 

 

 

17. Внутригодовые процентные начисления по сложной ставке. Номинальная ставка.

В современных условиях проценты капитализируются как правило не один, а несколько раз в году, а именно, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно.

При начислении сложных  процентов несколько раз в  году можно использовать базовую формулу сложных процентов F=P(1+r)ⁿ в которой n-число периодов начисления процентов, а r-процентная ставка за соответствующий период.

Однако, на практике в контракте  обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка и одновременно определяется количество периодов начисления (например, 18% годовых с поквартальным начислением процентов). Тогда внутригодовые процентные начисления рассчитывают по модифицированной формуле сложных процентов.

где r-годовая процентная ставка (в  долях единицы), которую можно  обозначить как r^(m)-номинальная ставка; n-количество лет начисления; m-количество начислений в году.

Выводы: 1) Чем чаще начисляются %, тем быстрее идет процесс наращения и тем больше накопленная итоговая сумма; 2) При начислении сложных процентов, процентная ставка годовых не эквивалентна соответствующей доле периода года, или 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц. 1%∙∙12≠12% при ежемесячном начислении процентов.  При этом данное свойство не характерно для наращения простыми процентами.

18. Эффективная годовая процентная ставка.

Номинальная процентная ставка как  правило указываемая в финансовых контрактах, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и ,во-вторых, не может использоваться для сопоставлений. Эффективная годовая ставка является универсальным показателем для любой схемы начисления и используется для сравнения эффективности выбора различных схем внутригодовых начислений процентов, т.е. годовая эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же финансовый результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке r/m.

Если задана исходная сумма P, годовая номинальная ставка r, число начислений сложных процентов m, то этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует определенное значение наращенной величины F. Требуется найти такую годовую ставку r_e, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. при m=1.

Эффективная годовая ставка определяется по следующей формуле:

r_e=1+r/m)^m-1, где r-годовая ставка (в долях единицы), m – число начислений процентов в течение года.

Таким образом, эффективная ставка измеряет реальный относительный доход, который получают в целом за год. Эффективная ставка при m>1 больше номинальной, поскольку зависит от количества внутригодовых начислений. Замена в договоре номинальной ставки r^(m)=r при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку r_e не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе эти ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда также следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.

Для каждой номинальной ставки можно  определить соответствующую ей эффективную  ставку. (они совпадают лишь при m=1). Именно эффективная ставка r_e выступает критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

19. Расчет процентов для краткосрочных ссуд.

Поскольку процентная ставка устанавливается как правило в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить какая часть годового процента уплачивается кредитору. В этом случае для кредитора чаще всего определяющего условия финансового контракта более выгодна схема простых процентов. В расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году. Поэтому во внутригодовых финансовых вычислениях обычно применяется формула модифицированных простых процентов.

F=P(1+(t/T)*r), где Т-точное (365-366) или приближенное (360) количество дней в году (временная база начисления процентов); t-продолжительность финансовой операции (в днях), измеренная точно или приближенно.

При определении продолжительности  финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от  того чему принимается равной продолжительность года (квартала, месяца и т.д.) размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Различаются два варианта начисления процентов: точные и обыкновенные проценты.

20. Точные и обыкновенные проценты.

1) Точные проценты, определяемые исходя из точного (действительного) числа дней в году (365-366 дней), в квартале 89-92 дня, в месяце 28-31 день. Формула запишется:

2) Обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней  в году (360), в квартале (90), и месяце (30). Формула запишется: