Шпаргалка по "Физике"

 Рассмотрим механическую систему,  состоящую из n тел, с массами m1, m2, ... , mn и скоростями v1, v2, ... , vn. Пусть F1', F2', ... , Fn' - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из n тел, a F1', F2', ... , Fn' - равнодействующие внешних сил. Применим второй закон Ньютона для каждого из n тел рассматриваемой механической системы:   ( ) = +  .

Тогда,    (   +   +... + )   = +    +...+  .

(так как векторная сумма  внутренних сил механической  системы равна нулю)

или       = +    +...+  . (1) , где     - импульс механической системы. Значит, производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

 В случае замкнутой системы:

,т.е. 

(2)

Выражение (2) есть закон сохранения импульса:

импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Этот закон носит универсальный  характер, т. е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Импульс системы может быть выражен  через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется некоторая точка С, положение которой характеризует распределение массы системы. Ее радиус-вектор

   ,где mi и ri - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n - число материальных точек в системе;  - масса системы. Скорость центра масс:

,=>

p = m   (3),

 т. е. импульс системы равен  массе системы, умноженную на  скорость ее центра масс.

Подставив выражение (3) в уравнение (1), получим 

   (4)

Выражение (4) и есть закон движения центра масс.

 

8.Энергия,  работа, мощность. Кинетическая и потенциальная энергии. Закон сохранения механической энергии.

Чтобы количественно охарактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводят понятие работа силы.

Fs=Fcosα

A= Fs S= Fs  cosα                        (1)

Элементарная работа вектора силы F на перемещении на вектор dr

dA = = Fs dS

Работа силы на участке траектории от т.1 до т.2 = алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых  участках пути:

A=α =                          (2)

Если тело движется прямолинейно ( т.е. =const, α=const), то:

A=α = cosα =

A=[Дж].

Чтобы охар-ть скорость совершения работы вводят понятие мощность:

Мощность N== . N=[Вт](ватт) - скалярная величина.

Кинетическая  и потенциальная энергии

Кинетическая энергия  мех. системы – энергия механического движения этой системы.

Сила действуя на покоящееся тело и вызывая его движение совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затрач-ной работы.

Таким образом, работа dA силы F на пути, кот.  тело прошло за время dT при возрастании скорости от0 до идет на увеличение энергии. dA=dT (кинетическая энергия)

Из 2 зак. Ньютона, =  ;

 = m = dA.

Т.к. = , то dA=m = dT.

Кинетическая энергия мех. системы = сумме кин. эн-гий, входящих в систему:

T = . (1)

Пусть взаимодействие тел осущ-ся силовыми полями. Тогда, если работа, совершаемая силой не зависит от траектории перемещения тела из 1 точки в 2, а зависит только от нач. и конечн. положения, то такие поля наз-ся потенциальными, а сила-потенциальной.

Если же работа силы зависит от траектории перемещения тела, то такая  сила наз-ся диссипативной(сила трения).

Находясь в потенц. поле сил, тела облад. потенц. энергией П.

Потенциальная энергия – механич. энергия системы тел, определ-мая их взаимным расположением и характером  сил взаимодействия между ними.

Работа консервативн. сил при элементарном( беск. малом) изменении конфигурации систем = потенц. эн-гии, взятой со знаком  -  :

dA=-dП (2)

= -dП          (3)  =>    П= - + С.

П=mgh  (4).

Формула для расчета потенц. эн-и зависит от силового поля. Напр., потенц. эн.-я тела массой m поднятого на высоту h над пов-стью Земли П=mgh .

Потенциальная энергия упруго деформированного тела(пружины):

cила упругости Fx упр = -kx; по 2 зак. Ньютона Fx = -Fx упр = kx;

элементарн. работа A= =    =>

П =   . (5)

Полная мех. энергия сист. – энергия мех. движения и взаимодействия: Е=Т+П.

d(Т+П) =dA , (Т+П)  =   .   

Если внешние неконсервативные силы ( f1, f2, f3) отсутствуют, то сумма d(Т+П) = 0, т.е.  Т+П =Е = const.

Закон сохранения мех. энергии:

в системе тел, между кот. действуют  только консервативные силы, полная механич. энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем(это связано с однородностью времени).

Зак. сохр. энергии – сущность неуничтожимоти материи и еедвижения.

 

9.Абсолютно  упругий и неупругий удар

Удар (или соударение) - это столкновение двух или более тел, взаимодействующих  очень короткое время.

Силы взаимодействия – ударные.

При ударе тела испытывают деформацию. Понятие удара подрузамевает, что кинетическая энергия относительного движения ударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Отношение нормальной составляющей относительной скорости тел после удара к нормальной составляющей относительной скорости тел до удара называется коэффициентом восстановления ε: ε = νn'/νn

Если для соударяющихся тел  ε=0, то такие тела называются абсолютно  неупругими, если ε=1 - абсолютно упругими.

Линиея удара - прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и перпендикулярная к поверхности их соприкосновения. Удар называется центральным, если соударяющиеся тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через центры их масс

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в  обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.

 

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим 

(3)

(4)

 откуда  (5)

 Решая уравнения (3) и (5), находим   (6)

                                                                      (7)

Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью  шаров из пластилина (глины), которые  движутся навстречу друг другу .

Если массы шаров m1 и m2, их скорости до удара ν1 и ν2, то, используя  закон сохранения импульса (8)

 где v - скорость движения шаров после удара. Тогда (9)

В случае движения шаров навстречу  друг другу они вместе будут продолжать движение в ту сторону, в которую  двигался шар с большим импульсом. В частном случае, если массы шаров  равны (m1=m2), то  (10)

Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая  переходит в тепловую или другие формы энергии. Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

 Используя (10), получаем 

 Если ударяемое тело было  первоначально неподвижно (ν2=0), то    и

Когда m2>>m1 (масса неподвижного тела очень велика), то ν<<ν1 и практически  вся кинетическая энергия тела переходит  при ударе в другие формы энергии.

 

10.Момент  инерции тела относительно неподвижной  оси вращения

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме  произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения  масс эта сумма сводится к интегралу 

где интегрирование производится по всему объему тела. При этом величина r в есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Момент инерции отдельного полого цилиндра dJ=r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr. Если ρ-плотность материала, то dm=2πrhρdr и dJ=2πhρr3dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра