Малые колебания

  Особый интерес  вызывает рассеяние частиц в  Кулоновском поле, если потенциальная  энергия их взаимодействия

Подставим  в (1) :

Введем подстановку  вида 

   Это интеграл  вида , где

Используем выражение  для для минимального расстояния  до центра поля, полученное в задаче Кеплера

Подставим подробно это и получим:

   Используя,  что 

Продифференцируем это выражение по

Подставляем в (2) и получим: но формула Резерфорда для дифференциального сечения рассеивания частиц в кулоновском поле.

    Особенность  полученного выражения в том,  что const, которое определяет с чем мы имеем дело, с полем притяжения или полем отталкивания, в формулу входит как , поэтому рассеяние частиц что положительных так и отрицательных в кулоновском поле будет одинаковым.

                     ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ  ОСЦИЛЛЯТОР.

   Если  на частицу массой m, находящуюся в точке с координатами действует центральная сила , то ее потенциальная энергия имеет вид: и функция Лагранжа

Движение пространственного  осциллятора представляет собой колебания частицы вдоль координатных осей с частотами:

Из вида функции  Лагранжа можно сразу сделать  вывод, что нормальные координаты:

Тогда в нормальных координатах кинетическая энергия:

А потенциальная  энергия: представляет собой уравнение эллипсоида, приведенного к главным осям. Здесь возможны три случая:

1)Если все  частоты различны:  Тогда направления главных осей определяется однозначно.

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

2)Если среди  корней характеристического уравнения  имеются кратные частоты, то  каждой кратной частоте отвечает  столько нормальных координат,  какова степень кратности, но  выбор этих нормальных координат  неоднозначен. Например, при    эллипсоид потенциальной энергии является эллипсоидом вращения и оси могут быть одновременно повернуты на произвольный угол.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                      

 

                                                                          

 
 

                      

 
 

3)Если все  частоты совпадают  , то эллипсоид превращается в сферу и произвол в выборе направления нормальных координат увеличивается, поскольку направление   становится также произвольным. Используя такую геометрическую интерпретацию, можно проиллюстрировать введение нормальных координат.

    Введение  нормальных координат основано  на приведении положительно определенных  квадратичных форм кинетической  и потенциальной энергии к  сумме квадратов- т.е. к диагональному  виду. Но положительно определенная  квадратичная форма в n-мерном пространстве обобщенных  координат или скоростей представляет собой поверхность 2-го порядка- эллипсоид и поэтому поворотом осей может быть приведенная к осям симметрия. В случае малых колебаний одновременно к сумме квадратов приводятся две положительные формы T и U .

ЧТО МЫ  ДЕЛАЕМ?

1)Приводя линейным  преобразованием (поворотом осей) форму T к сумме квадратов, мы вообще не получим форму U в виде суммы квадратов, тогда

2)Производим  нормирование, т.е. масштабное преобразование  координат, при котором эллипсоид,  соответствующий форме T, перейдет в сферу.

3)Повороты координатных  осей после этого составят  сферу T неизменной, а эллипсоид второй формы U приведут к осям симметрии, которые будут осями симметрии для квадратичной формы T.Таким образом, обе формы T и U будут приведены к сумме квадратов и функция Лагранжа примет вид:

Это преобразование эквивалентно приведению матрицы к  диагональной форме.