Малые колебания

Малые колебания.

1.Свободные  одномерные колебания.

 Очень распространенный  тип движения механических систем  это так называемые малые колебания,  которые система совершает вблизи  своего положения равновесия.

 Рассмотрим  наиболее простой случай, когда  система обладает всего одной  степенью 

свободы – эта  система называется  линейный  осциллятор. 

  Функция Лагранжа в случае

Устойчивому положению  равновесия соответствует положение, в котором потенциальная энергия имеет мнимое значение, т.е., где и  обобщенные силы, которые вызывают  колебания в потенциальной яме при отклонении тела от положения равновесия.                                                                          

 

 

  

                           

 Предположим,  что эти отклонения малы и  при малых отклонениях системы от положения равновесия разложит потенциальную энергию U(q) в ряд по степеням малости отклонений в окружности положения равновесия. 

  Произведем  масштабное преобразование координат,  т.е.будем отсчитывать потенциальную  энергию от  , U()=0

  Учтем, что   как точка минимума U(q) (на самом дне потенциальной силы).

  Обозначим и назовем  коэффициентом квазиупругой силы.

  Обозначим   –отклонение тела от положения равновесия, которое называется смещением. 

Перейдя в случае однородных колебаний к декартовой координате, т.е. 

  Обозначая,a(x)=m получим функцию Лагранжа для одномерных малых колебаний. Подставим в уравнение Лагранжа: 

дифференциальное  уравнение движения.

Вводя – собственная частота

Решение. Дифференциальное уравнение – второго порядка или его можно привести к виду – уравнение смещения для линейного гармоничного асцилятора, где Α - амплитуда, ωt+α-фаза, α- начальная фаза.

  Как его  получить? Исходим из уравнения  движения

По общему правилу  решения ищем решение в виде  

Общее решение  ДУ-2 запишем в виде суперпозиции двух уравнений 

т.к. x- это смещение, то это действительная величина, а  критерием действительности величины является в комплексном анализе  то, что 

  Тогда представим  const и   также в комплексной форме где a-модуль комплексного числа, мнимая часть числа , но тогда сравнивая их тогда

  Учитывая, получим мы пришли к выражению (1) где A=2a

Расписывая

Выражение (1) можно  представить в комплексной форме такой вид записи в комплексной форме намного удобнее тригонометрической, поскольку с экспонентами  легче работать. Часто пишут просто , и выполняя преобразования и дойдя до ответа необходимо просто в конечном ответе учесть что надо взять действительную часть числа и получим решение. В такой записи - комплексная амплитуда,a- амплитуда,- начальная фаза 

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ  СВОБОДЫ (МНОГОМЕРНЫЕ  МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ)

  Функция  Лагранжа системы со многими  степенями свободы 

Рассмотрим малые  колебания вблизи положения равновесия, т.е. вблизи некоторой точки с координатами Это та точка, в которой потенциальная энергия имеет min т.е. экстремум.

1.Исследование  потенциальной энергии.

Вводя аналогично одномерным колебаниям малые отклонения тела от положения равновесия , которые будем называть смещением, разложим потенциальную энергию в ряд по степеням малости в окрестности положения равновесия 

  Отсчитывая  потенциальную энергию от  можно положить U(

Учтем что все

Введем обозначение -коэффициенты квазиупругой силы

Потенциальная энергия 

Причем коэффициент и на дне потенциальной ямы двойные производные должны быть «+» т.е. из коэффициентов можно составить матрицу- . Симметрическая матрица, которая в евклидовом пространстве представляет собой положительно определённую квадрируемую форму , где критерием положительной определенности такой квадрируемой формы является то, что определители все более высокого ранга должны быть положительны.

1)

2)

3) >0 т.е. и сама потенциальная энергия (1) так же является положительно определенной квадрируемой формой координат

2. Исследование кинетической  энергии

Т.к.

Обозначим это значение коэффициентов рассчитанные в точке равновесия, тогда кинетическая энергия т.е. и кинетическая энергия также является положительно определенной квадрируемой формой скоростей, где

3.Функция  и уравнение Лагранжа

Объединяя первое и второе, составим функцию Лагранжа малых многомерных колебаний (3) и подставим (3) в уравнение Лагранжа, которых будет n-малое штук. 

Найдем 

В любом случае ,

Аналогично

Собираем производные  в уравнение Лагранжа, получим (4) , но i=1,…,n.

Т.е. уравнение  движений для малых колебаний  представляют собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и по общему правилу ищем решение в виде (5)

4.Характеристические  уравнения.

Подставляем (5) в (4) , т.к. (i=1,…,n)

Для этой системы  уравнений существует тривиальное  решение, когда все коэффициенты =0 (j=1,…,n), но оно нас не интересует . Но для того, чтобы эта система имела отличие от нуля  решения, необходимо чтобы обращался в нуль ее определитель, т.е. Выражение (7) называется характеристическим уравнением

  Это уравнение  служит для определения частот , это уравнение n-ой степени относительно . Решив его, мы находим n-малое частот (выбирая из них , т. е. те частоты, которые имеют реальный физический смысл). Именно такие частоты называются собственными частотами систем.

  После нахождения  частот, их необходимо подставить  в уравнение (6) и найти значение  коэффициента  матрица. Тогда решение уравнения это уравнение движения для первой из степеней свободы при многомерных колебаниях примет вид Каждая координата зависит от всех частот.

Если все корни  характеристического уравнения (7) различны, т.е.  то коэффициенты пропорциональны минорам определителя характеристического уравнения где комплексная постоянная, тогда общее решение , где - уравнение для однородного осциллятора. Сравнив с предыдущим пунктом, где мы начинаем понимать, что под мы можем понимать уравнение движения относительно отдельной степени свободы.

  Т.е. изменения  каждой из координат системы   со временем представляет собой положение n-простых периодических колебаний ,…, с произвольными амплитудами и фазами, частотами, но вполне определёнными частотами.

5)Колебания линейного осциллятора при наличии вынужденной силы.

  Т.к. колебания  малые, то и внешнее поле  будем полагать  достаточно малым,  иначе оно может вызвать большие смещения. Пусть, как и раньше - это собственная потенциальная энергия - потенциальная энергия квазиупругой  силы. Под действием внешнего поля система будет обладать также потенциальной энергией ,  где x - смещение

 Разложим в ряд по степеням малости смещение (x) в окрестности положения  равновесия , но эта функция только времени и по третьему свойству функции Лагранжа ее можно исключить, как полную производную над некоторой другой функции времени  
. Подставим в функцию Лагранжа для свободной колебательной системы

  Подставим  в уравнение Лагранжа , - дифференциальное уравнение движения

  Будем рассматривать частный случай, когда внешняя вынужденная сила имеет периодический характер где – частота начальная фаза

  Частный  случай: (2), но решение неоднородного дифференциального уравнения , где общее решение однородного уравнения, соответствующее уравнению движения свободного гармонического осциллятора

  Частный  интеграл не однородного уравнения  будем искать в виде ,подставим

  уравнение движения  линейного осциллятора  под действием  периодической вынужденной силы. Его движение представляет собой наложение двух колебаний с частотами и

Здесь возможны три случая:

1)Если колебания происходят в противофазе

2)Если  колебания происходят в фазе

3)Если  и это резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, при совпадений собственной частоты колебательной системы и частоты внешней вынужденной силы.