Малые колебания

Т.е. при изучении строения векторов величина пропорциональна прочности химических связей.

  При установившемся  движении система совершает колебания  по закону

При этом энергия  из механической системы постоянно  диссипирует в окружающую среду  и эта диссипация энергии постоянно  компенсируется поглощением энергии  от источника внешней силы.

  Если , это изменение энергии за единицу времени, то при диссипации энергии , при поглощении энергии .

Обозначим , это интенсивность поглощения энергии на данной частоте системы от внешнего источника, это энергия, поглощаемая в среде в единицу времени.

Согласно диссипативной  функции Релея  при поглощении энергии но т.е.

Из уравнения находим скорость

Производится  усреднение величин, зависящих от времени

Тогда интенсивность  поглощения на данной частоте

Подставляем в  выражение амплитуду интенсивность  энергии поглощения на данной частоте B .

Одновременно  не забываем, что при резонансе  интенсивность поглощения увеличивается, но не , как при резонансе без трения.

  Для дальнейшего  анализа колебаний вблизи резонанса  будем рассматривать только те  частоты , которые отличаются от собственной резонансной частоты на бесконечно малую величину, т.е. , где

Тогда интенсивность поглощения вблизи резонанса

Пренебрежем в  выражениях типа, тогда и интенсивность вблизи резонанса .

Пренебрежем в выражениях типа тогда интенсивность   -интенсивность вблизи резонанса

Определение График зависимости интенсивности поглощения от частоты вблизи резонанса называется дисперсионная зависимость.

Пусть мы в резонансе, тогда чем больше , тем I меньше.

 

 

 1

 

                  0 

Важнейшей характеристикой  резонансной кривой является термин полуширина резонансной кривой, это то значение , при котором интенсивность поглощения уменьшается вдвое по сравнению с при резонансе.

  Действительно,  при каком-то значении это с одной стороны, но общее выражение с другой стороны для интенсивности в близи резонанса

Приравняем их:

Т.е. значение полуширины резонансной кривой дает нам коэффициент  затухания механической системы.

   Если  проинтегрировать выражение для  интенсивности поглощения энергии вблизи резонанса по всем частотам, то мы получим полную поглощаемую мощность системы

1Проинтегрировав  мы  нашли полную поглощаемую  мощность системы, это площадь  подрезанансной кривой. Причем эта мощность не зависит от коэффициентов затухания (f - амплитуда внешней силы).

  Разные тела, но одинаковой массы, но от одинаковой силы будут поглощать от одинаковой силы одну и ту же мощность.

  Пусть есть  два тела с одинаковыми массами,  но с разными коэффициентами  затухания 

 

 

  

  

 
 

 

Действительно, если интенсивность поглощения энергии при резонансе , но полная поглощаемая мощность системы (с одинаковой массой) должна быть тоже одинаковой, т.е. .Поэтому, если резонансный пик - ниже, то сама резонансная кривая должна быть шире.

Чтобы площади и были одинаковы.

         4)Энергия малых колебаний. Понятие о фазовом пространстве.

  Для линейного  осциллятора уравнение движения

Отдельно можно  найти среднее значение кинетической и потенциальной энергии за период – это значит что в течении периода кинетическая T и U равномерно, в одинаковых количествах превращается одна в другую.

Этот результат  можно было получить с помощью  вириальной теоремы, т.е. где k– степень однородности потенциальной энергии

А для осциллятора 

Для геометрической интерпретации механических явлений  часто пользуются понятием о фазовом  пространстве - это пространство обобщенных координат и импульсов системы.

На координатных осях которого, откладывается n– координат импульсов.

Тогда состояние  механической системы в фазовом  пространстве можно изобразить всего одной точкой  - это называется фазовая точка системы.

 

 P Ф.точка

 Ф. траектория

 
 

 q

 

Если система  обладает n степенями свободы, то фазовое пространство обладает размерностью 2n системы.

  При эволюции (движении частиц в системе) частицы движутся и фазовая точка перемещается.

Определение  Линию, которую описывает фазовая точка при эволюции системы, называют фазовой траекторией.

  Например, случай общего решения уравнения движения линейного осциллятора, мы получим решение дифференциального уравнения в виде, где – интегрируемая определяемая из начальных условий. Для разных начальных условий мы получим разные значения c, т.е. мы получим набор интегральных кривых.

Определение Набор возможных фазовых траекторий системы составляет фазовый портрет системы.

Помимо фазового пространства вводится понятие координатного –скоростного пространства, где вместо импульса на координатных осях откладываются скорости.

  Рассмотрим  линейный гармонический осциллятор, его энергию

В таком виде это уравнение представляет собой  уравнение эллипса с полуосями .                                          

             

 Фаз. траектория

 

 
 
 

Важной характеристикой  системы является объем фазового пространства под фазовой траекторией.

В нашем случае объем фазового пространства это  площадь эллипса .

                 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЕНИЯ ЧАСТИЦ.

1)Распад  частиц.

  Законы сохранения  импульса и энергии позволяют  сделать во многих случаях  ряд важных заключений о свойствах  различных механических процессов,  которые совершенно не зависят  от конкретного рода взаимодействия  между участвующими в процессе  частицами.

  Начнем с  процесса «самопроизвольного» (т.е.  без воздействия внешних сил)  распад частиц на другие частицы,  движущиеся после распада независимо  друг от друга.

  Наиболее  просто этот процесс выглядит  при рассмотрении его в системе  отсчета, в которой частицы  (до распада) покоятся. В силу  закона сохранения импульса сумма  импульса обеих образовавшихся  частиц равна нулю, т.е. частицы  разлетаются с равными по величине, и противоположными по направлению импульсами.

  Их абсолютное  значение определяется законом сохранения энергии:

Где–массы частиц

- внутренняя энергия 

- внутренняя энергия  частицы до распада

Обозначим по средствам  «энергию распада», т.е. разность.

-что  должно быть всегда  больше нуля, чтобы распад всегда был возможен. Тогда

m-приведенная  масса обеих частиц, скорости  же частиц -

  Рассмотрим  теперь систему отсчета, в которой  первичная частица движется до  распада со скоростью V. Ее называют  лабораторной (или л-системой) в противоположности «система центра инерции» (или ц- системой) в которой полный импульс равен нулю.

    Рассмотрим  одну из распадных частиц и  V и –это ее скорости в двух системах «л- системе» и «ц- системе». Из равенства или ,имеем:

  - угол вылета частицы по отношению к направлению скорости V. Это уравнение определяет зависимость и , которое может быть представлено графически:

а)           б) 
                                                    

       C

            

                  

       A

 
 
 

рис.1

Скорость V дается вектором, проведенному в какую-либо точку окружности радиуса из точки А, отстоящей от расстояния V от центра окружности. Случаем и соответствуют рис.1а и рис.2б.

В первом случае частица вылетает под любым углом . Во втором случае частица вылетает только вперед под углом , не превышающем угла даваемого равенством (4)

  Связь между  углами вылетаи в л и ц- системах очевидно из той же диаграммы и дается формулой: (5)

Если решить это уравнение относительно , то получим:

При , связь между и однозначна из рис.1а. В формуле надо выбрать знак «+» перед корнем так, чтобы =0 при =0

  При связь между и неоднозначна, каждому значению отвечает два значения рис.1б соответствующее векторам проведенным от центра окружности в точки В и С используются и «-« и «+».

  В физическом  применении приходиться обычно  иметь дело с распадом не  одной, а многих одинаковых  частиц, в связи с чем, возникают вопросы о распределении распадных частиц по направлениям, энергиям и т.п., где будем считать, что первичные частицы ориентированы в пространстве хаотически в среднем изотропным образом.

В ц- системе  ответ на этот вопрос тривиален: все  распадные частицы имеют одинаковую энергию, а их распределение по направлению  вылета изотропно. Последнее утверждение  связано со сделанным предположением, а хаотичности ориентации первичных частиц. Оно означает, что доля числа частиц летящих в элементе телесного угла , пропорциональна величине этого элемента, т.е. равна . Распределение по углам получим отсюда, (7).