Малые колебания

Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Ноября 2011 в 22:51, реферат

Краткое описание

Очень распространенный тип движения механических систем это так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда система обладает всего одной степенью
свободы – эта система называется линейный осциллятор.

Файлы: 1 файл

малые колебания.docx

— 128.90 Кб (Скачать)

Распределения в л- системе получаются путем  соответствующего преобразования этого  выражения. Определим, распределение  по кинетической энергии в л- системе. Возведя в квадрат равенство , отсюда

Введя сюда кинетическую энергию и получаем  (8)

Кинетическая  энергия может пробегать значения от наименьшего до наибольшего .

В этом интервале  частицы распределены согласно (8) однородно.

  При распаде  частиц на более чем две части, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии оставляют больший произвол в скоростях и направлениях распадающих частиц, чем при распаде а две части. В частности энергия разлетающихся частиц в ц- системе отнюдь не имеют одного определенного значения. 

Существует верхний  предел кинетической энергии, которая  может при этом унести с собой  каждая из распадных частиц. Для  определения этого придела будем  рассматривать совокупность всех распадных  частиц за исключением одной, заданной как одну систему (с массой ) ее «внутреннюю» энергию обозначим через , тогда кинетическая энергия частицы будет согласно (1) и (2)

М- масса первичной  частицы.

Очевидно, что будет иметь наибольшее возможное значение, когда минимальна. Для чего надо чтобы все распады частицы за исключением двигались с одной и той же скоростью; тогда сводится просто к сумме внутренней энергии, а разность есть энергия распада . Таким образом

       УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ  ЧАСТИЦ.

   Столкновение  частиц называется упругим, если  оно сопровождается изменением  их внутреннего состояния. Соответственно  этому при применении к такому  столкновению закона сохранения  энергии нужно не учитывать  энергии частиц.

   Проще  всего столкновение выглядит  в системе отсчета, в которой  центр инерции обеих частиц  покоиться (ц- система); будем отличать, как и в предыдущем пункте, индексом «0» значение величин  в этой системе. Скорость частиц  до столкновения в ц- системе  связаны с их скоростями и в лабораторной системе соотношениями   ,где

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии  остаются неизменными и их обсалютные величины. Таким образом результат  столкновения сводиться в ц- системе  к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить посредством единичный вектор в направлении, скорости частицы после столкновения,то скорость обеих частиц после столкновения будет:

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость центра инерции. Таким образом, для скоростей частиц в л-системе после столкновения получаем:

Этим исчерпываются  сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних  только законов сохранения импульса и энергии. Что касается направления  вектора , то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

    Полученный  результат можно интерпретировать  геометрически. При этом удобнее  перейти от скоростей к импульсам.  Умножим равенство (2)  соответственно  на  и получим: где – приведенная масса

 

 
 
 
 
 

 Построим  окружность с радиусом  и произведем указанные на рис.1 построения. Если единичный вектор направлен вдоль , то векторы и дают соответственно импульсы . При заданных и радиус окружности и  положение A и B неизменны, а точка может иметь любое положение C  на окружности.

   Рассмотрим  подробнее случай, когда одна  из частиц (пусть это будет ) до столкновения покоилась. В этом случае длина  совпадает с радиусом, т.е. B лежит на окружности. Вектор же совпадает с импульсом первой частицы до рассеяния. При этом A лежит внутри (если ) или вне (если) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис.2а и б .

 

 C C

 

 

                                   B                         A                                                 B

 
 
 

     Указанные  на них углы и представляют собой углы отклонения  частиц после столкновения по отношению к направлению удара (направлению ). Центральный же угол, обозначенный на рисунках (дающий направление ) , представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка, очевидно, что углы и могут быть выражены через угол формулами .(4)

   Выпишем  также формулы, определяющие абсолютные  величины скоростей обеих частиц  после столкновения через тот  же угол :

   Сумма и есть угол разлета частиц после столкновения. Очевидно, что , при и , при случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой(лобовой удар), соответствует , т.е. положение C на диаметре слева от точки A (рис.2а;при этом и взаимно противоположны) или между A и O (на рис.2б; при этом и направлены в одну сторону)

    Скорости  частиц после столкновения в этом случае равны

   Значение  при этом – наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно: где – первоначальная энергия  налетающей частицы. При этом скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же , угол отклонения летящей частицы не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению C (рис.2б) при котором прямая AC, касается окружности. Очевидно, что , или

      C

 

A                                        B

 

   

 

Особенно просто выглядит столкновение частиц с одинаковыми  массами. В этом случае не только B но и A лежат на окружности (рис.3) При этом .

   Отметим,  что частицы разлетаются после  столкновения под прямым углом  друг к другу.

                        РАССЕЕНИЕ ЧАСТИЦ. 

Полное определение  результата столкновения двух частиц – определение угла требует решение уравнения движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц.

 

 A

            -частица

 

 
 

                                                                          

В соответствии с задачей двух тел такое взаимодействие двух частиц можно рассмотреть как  задачу об отклонении одной частицы  с приведенной массой m в ЦПС вида от неподвижного силового центра расположенного в центре инерции.

    Из  задачи Кеплера мы знаем, что  траектория  частиц движущихся  из с энергией  больше 0 представляют собой гиперболу симметричную относительно OA . Такие опыты проводились Резерфордом, когда –частицами обстреливали мишень золотую пластинку. При этом углы отклонения для разных частиц были различны. Данный вопрос и объясняет такую закономерность. Пусть угол это угол поворота траектории, при движении частиц от до или от на . Тогда угол отклонения частицы от первоначального направления движения .

  Но сам  угол поворота определяется согласно задачи двух тел : , где

  Здесь удобно  перейти от const E и M к двум другим скорость частицы на бесконечности, на ускорителе известны скорости движения частиц; - прицельное расстояние или прицельный параметр это то расстояние на котором прошла бы частица мимо рассеивающего центра если бы силовое поле отсутствовало

    Подставляем  ; (1)

   Угол  поворота траектории.

При рассеивании  пучка одинаковых частиц падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью различные частицы обладают разными прицельными параметрами и соответственно рассеиваются под разными углами.

    Если  это число частиц рассеиваем в единицу времени на углы в интервале , то отношение называется эффективное сечение рассеивания. Где n-это число частиц проходящих в единицу времени через единицу площади – плотность потока частиц первичного пучка.

  По смыслу  - относительная часть частиц, рассеянных в интервале углов . Почему такое название? Посмотрим на размерность ; поэтому она и названа эффективным сечением рассеяния.

    Величины связаны однозначно, действительно при увеличении угол отклонения уменьшается и наоборот.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 N

 

 
 
 

    Если  частицы летят в интервале  прицельных параметров , то они будут рассеиваться в интервале углов . Число таких частиц – площадь кольца плотность частиц в пучке .

   Но учитывая, что 

Надо брать , т.к. всегда больше нуля, а производная

Перейдем в  этом выражении от плоских углов  к телесным . Дифференциальное эффективное сечение рассеяния.

Информация о работе Малые колебания