Малые колебания

Распределения в л- системе получаются путем  соответствующего преобразования этого  выражения. Определим, распределение  по кинетической энергии в л- системе. Возведя в квадрат равенство , отсюда

Введя сюда кинетическую энергию и получаем  (8)

Кинетическая  энергия может пробегать значения от наименьшего до наибольшего .

В этом интервале  частицы распределены согласно (8) однородно.

  При распаде  частиц на более чем две части, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии оставляют больший произвол в скоростях и направлениях распадающих частиц, чем при распаде а две части. В частности энергия разлетающихся частиц в ц- системе отнюдь не имеют одного определенного значения. 

Существует верхний  предел кинетической энергии, которая  может при этом унести с собой  каждая из распадных частиц. Для  определения этого придела будем  рассматривать совокупность всех распадных  частиц за исключением одной, заданной как одну систему (с массой ) ее «внутреннюю» энергию обозначим через , тогда кинетическая энергия частицы будет согласно (1) и (2)

М- масса первичной  частицы.

Очевидно, что будет иметь наибольшее возможное значение, когда минимальна. Для чего надо чтобы все распады частицы за исключением двигались с одной и той же скоростью; тогда сводится просто к сумме внутренней энергии, а разность есть энергия распада . Таким образом

       УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ  ЧАСТИЦ.

   Столкновение  частиц называется упругим, если  оно сопровождается изменением  их внутреннего состояния. Соответственно  этому при применении к такому  столкновению закона сохранения  энергии нужно не учитывать  энергии частиц.

   Проще  всего столкновение выглядит  в системе отсчета, в которой  центр инерции обеих частиц  покоиться (ц- система); будем отличать, как и в предыдущем пункте, индексом «0» значение величин  в этой системе. Скорость частиц  до столкновения в ц- системе  связаны с их скоростями и в лабораторной системе соотношениями   ,где

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии  остаются неизменными и их обсалютные величины. Таким образом результат  столкновения сводиться в ц- системе  к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить посредством единичный вектор в направлении, скорости частицы после столкновения,то скорость обеих частиц после столкновения будет:

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость центра инерции. Таким образом, для скоростей частиц в л-системе после столкновения получаем:

Этим исчерпываются  сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних  только законов сохранения импульса и энергии. Что касается направления  вектора , то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

    Полученный  результат можно интерпретировать  геометрически. При этом удобнее  перейти от скоростей к импульсам.  Умножим равенство (2)  соответственно  на  и получим: где – приведенная масса

 

 
 
 
 
 

 Построим  окружность с радиусом  и произведем указанные на рис.1 построения. Если единичный вектор направлен вдоль , то векторы и дают соответственно импульсы . При заданных и радиус окружности и  положение A и B неизменны, а точка может иметь любое положение C  на окружности.

   Рассмотрим  подробнее случай, когда одна  из частиц (пусть это будет ) до столкновения покоилась. В этом случае длина  совпадает с радиусом, т.е. B лежит на окружности. Вектор же совпадает с импульсом первой частицы до рассеяния. При этом A лежит внутри (если ) или вне (если) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис.2а и б .

 

 C C

 

 

                                   B                         A                                                 B

 
 
 

     Указанные  на них углы и представляют собой углы отклонения  частиц после столкновения по отношению к направлению удара (направлению ). Центральный же угол, обозначенный на рисунках (дающий направление ) , представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка, очевидно, что углы и могут быть выражены через угол формулами .(4)

   Выпишем  также формулы, определяющие абсолютные  величины скоростей обеих частиц  после столкновения через тот  же угол :

   Сумма и есть угол разлета частиц после столкновения. Очевидно, что , при и , при случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой(лобовой удар), соответствует , т.е. положение C на диаметре слева от точки A (рис.2а;при этом и взаимно противоположны) или между A и O (на рис.2б; при этом и направлены в одну сторону)

    Скорости  частиц после столкновения в этом случае равны

   Значение  при этом – наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно: где – первоначальная энергия  налетающей частицы. При этом скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же , угол отклонения летящей частицы не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению C (рис.2б) при котором прямая AC, касается окружности. Очевидно, что , или

      C

 

A                                        B

 

   

 

Особенно просто выглядит столкновение частиц с одинаковыми  массами. В этом случае не только B но и A лежат на окружности (рис.3) При этом .

   Отметим,  что частицы разлетаются после  столкновения под прямым углом  друг к другу.

                        РАССЕЕНИЕ ЧАСТИЦ. 

Полное определение  результата столкновения двух частиц – определение угла требует решение уравнения движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц.

 

 A

            -частица

 

 
 

                                                                          

В соответствии с задачей двух тел такое взаимодействие двух частиц можно рассмотреть как  задачу об отклонении одной частицы  с приведенной массой m в ЦПС вида от неподвижного силового центра расположенного в центре инерции.

    Из  задачи Кеплера мы знаем, что  траектория  частиц движущихся  из с энергией  больше 0 представляют собой гиперболу симметричную относительно OA . Такие опыты проводились Резерфордом, когда –частицами обстреливали мишень золотую пластинку. При этом углы отклонения для разных частиц были различны. Данный вопрос и объясняет такую закономерность. Пусть угол это угол поворота траектории, при движении частиц от до или от на . Тогда угол отклонения частицы от первоначального направления движения .

  Но сам  угол поворота определяется согласно задачи двух тел : , где

  Здесь удобно  перейти от const E и M к двум другим – скорость частицы на бесконечности, на ускорителе известны скорости движения частиц; - прицельное расстояние или прицельный параметр это то расстояние на котором прошла бы частица мимо рассеивающего центра если бы силовое поле отсутствовало

    Подставляем  ; (1)

   Угол  поворота траектории.

При рассеивании  пучка одинаковых частиц падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью различные частицы обладают разными прицельными параметрами и соответственно рассеиваются под разными углами.

    Если  это число частиц рассеиваем в единицу времени на углы в интервале , то отношение называется эффективное сечение рассеивания. Где n-это число частиц проходящих в единицу времени через единицу площади – плотность потока частиц первичного пучка.

  По смыслу  - относительная часть частиц, рассеянных в интервале углов . Почему такое название? Посмотрим на размерность ; поэтому она и названа эффективным сечением рассеяния.

    Величины связаны однозначно, действительно при увеличении угол отклонения уменьшается и наоборот.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 N

 

 
 
 

    Если  частицы летят в интервале  прицельных параметров , то они будут рассеиваться в интервале углов . Число таких частиц – площадь кольца плотность частиц в пучке .

   Но учитывая, что 

Надо брать , т.к. всегда больше нуля, а производная

Перейдем в  этом выражении от плоских углов  к телесным . Дифференциальное эффективное сечение рассеяния.