Малые колебания

A

      Без трения 
 
 
 

                                

 Вблизи резонанса пользоваться уравнением (3) нельзя (оно дает неопределенность или дает стремление к бесконечности). Переобозначим постоянные и при некоторой новой const получим При второе слагаемое дает неопределенность типа , воспользуемся правилом Лопиталя.

  Продифференцируем  второе слогаемое по x с подстановкой   подставим обратно в (3)

  Вблизи резонанса амплитуда возрастает по линейному закону с течением времени.

 Для дальнейшего  исследования колебаний в близи  резонанса будем рассматривать  те частоты, внешние силы которой  отличаются от собственной на  бесконечно малую величину 

  Перейдем  в общем решении (3) к комплексной  форме , где Обозначим , тогда .  

A 

 По линейному  закону 
 

 

              

Такие колебания  происходят с изменяющей амплитудой, чтобы найти границы ее изменений  найдем квадрат . Но cos может принимать max и min значения cos(…)= Т.е. амплитуда вынужденных колебаний в близи резонанса сама изменяется по гармоническому закону, т.е. сама периодически изменяется в таких границах

 

  

 Явление биения

 

 
 
 

          6)Колебания линейного одномерного осциллятора под действием вынуждающей силы в общем случае.

  Из предыдущего  вопроса уравнение движения представим это выражение в виде Введем обозначения тогда (*) , где где Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Подставим в (*) + ; ; ; Учтем что , но реальная часть , а мнимая часть

Найдем комплексное  число, но энергия- энергия колебательной системы Предполагаем начальную энергию системы равной нулю, найдем полную энергию передаваемую системе за все время действия силы от до . Энергия, передаваемая системе, определяется квадратом модуля Фурье компонента силы с частотой равной собственной частоте системы. И сравнивая энергию с выражением импульс, передаваемый системе вынуждающей силы.                                            

А если сила действует  кратковременно, если время действия силы много меньше периода собственных колебаний , то тогда для кратковременной силы

Т.е. кратковременная сила сообщает системе импульс не успев за это время произвести заметного смещения.

  МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ.

    1)Уравнение  движения для системы  с одной степенью  свободы.

  При взаимодействии  колебательной системы со средой  происходит потеря энергии. Процесс  движения в этих условиях уже  не является чисто механическим  т.к. необходим учет движения  как самой среды, так и учет  внутреннего теплового состояния  как среды так и тела. Т.е.  задача о движении тела в  среде уже не является задачей  механики (нужна молекулярная физика, термодинамика). Но если частота  колебаний системы много меньше  частоты, характерной для внутренних  диссипотивных процессов в среде,  то можно считать что на  тело действует сила трения  зависящая только от его скорости .

Диссипация- убыль  энергии в окружающую среду.

  Частота  колебания атомов и молекул  действительно на много больше  механических колебаний. Действительно,  мы вспомнили, что сила трения  зависит от скорости. Предполагая малой, разложим силу трения в ряд по степеням малости скорости в окрестности состояния покоя.

Учтем, что в  состоянии покоя

Обозначим ; и учтем что сила трения противоположна скорости, т.е. и тогда

И тогда необходимо добавить в уравнение Лагранжа потенциальную  силу взаимодействия со средой=

Эта сила трения действует на ранее свободный осциллятор функция Лагранжа, которая -собственная частота в отсутствии трения –коэффициент затухания, характеризующий взаимодействие движущего тела со средой

  Составляем  характеристическое уравнение ;

Тогда общее  решение такого дифференциального  уравнения будет уравнение движения для линейного осциллятора в присутствии трения

Возможны три  случая:

1)Путь некоторая новая const где – это собственная частота колебательной системы, которая становится меньше чем собственная частота без трения, поскольку внешняя среда задает движение.

Тогда уравнение смещения для линейного гармонического осциллятора в присутствии силы трения, если трение мало

Это гармоническое  колебание с экспоненциально  убывающей амплитудой.

                 

 
 

 

 

Предположение, что означает, что трение мало, т.е. в течении одного периода собственных колебаний, энергия колебательной системы не значительно диссипатирует в окружающую среду.

2)Пусть 

Обозначим

Никакой периодичности  здесь нет. Такой случай, возникающий  при большом трении, называется апериодическое затухание.

В течении одного периода энергия диссипирует  в окружающую среду

 

 

 

 
 

3)Если , тогда корни характеристического уравнения одинаковы и решение получается особый случай апериодического затухания.

          2)Диссипативная функция Релея и ее физический смысл.

  Если вернуться  к уравнению Лагранжа , то можно увидеть, что силу трения можно представить как производную по скорости от какай-то другой функции скоростигде – диссипативная функция Релея

Иначе уравнение  Лагранжа можно представить

Выясним смысл  этой функции, для этого найдем (T+U)=)=(--)=

  Диссипативная  функция определяет скорость  убывания энергии из системы.

  Т.к. при  диссипативных процессах энергия  из системы всегда убывает,  т.е. всегда

Диссипативная функция т.е. она должна быть положительно определенной квадратной формой скоростей. Это возможно только тогда, если

Это значит, что  при увеличении скорости движения тела, сила трения возрастает.

           3)Вынужденные колебания при наличии трения.

  Рассмотрим  колебания при наличии трения, если вынуждающая сила имеет  периодический характер

Тогда уравнение  движения в одномерном случае (см. 2 предыдущих  пункта)

Общее решение  такого неоднородного дифференциального  уравнения

Но решение  однородного уравнения – это  уравнение движения одномерного  осциллятора в присутствии трения – новая собственная резонансная частота в присутствии трения.

  Причем нас  интересует случай, когда коэффициент  затухания, в противном случае, когдабудет случай апериодического затухания и колебание отсутствует.

  Перейдем  в уравнении (1) к комплексной  форме

  учитывая, что  в конечном результате надо  взять действительную часть. Решение  не однородного уравнения ищем  в виде

Подставляем в  дифференциальное уравнение

Собираем все  в общее решение не однородного  уравнения

  В полученном  решении первое слагаемое действительно,  а второе – комплексное.

  Чтобы избавится от комплексного вида, надо суметь представить , в виде . Для этого умножим и разделим эту дробь на комплексно - сопряженные выражения, знаменателю =

Введем обозначения представленные экспоненты, для определения величины мы можем взять       

Подставим выражение  для const в общее решение

Величина начинает играть роль начальной фазы вынужденных колебаний в присутствии трения

  В течении  достаточно длительного времени  (при установившихся колебаниях ) первое слагаемое экспоненциально  стремится к 0 и в полученном  решении можно оставить только  со вторым слагаемых

Применим операцию взятия действительной части числа

Т.е. вынужденные  колебание в присутствии трения  происходят с частотой вынуждающей силы

  Исследуем  изменения амплитуды таких колебаний  при разных частотах  ;будем иметь, тогда, когда функция, стоящая под корнем, будет иметь min;

 

 
 

   

 

B(0)

 

0            

 

Найдем производную  функции                – новое значение резонансной частоты системы в присутствии трения

  Причем, при наличии трения будет меньше чем при резонансе без трения.

  В случае резонанса  с трением

1)Резонансная  частота

2)Амплитуда , но уже как в случае резонанса без трения.

 

B Резонанс без трения

      Резонанс  с трением

 

B(0)

  

          

 

  Подставим  значение резонансной частоты  и найдем max резонансного значения амплитуды .

  Амплитуда  колебаний при резонансе обратно  пропорциональна коэффициенту затухания чем больше , тем меньше