Эффект Холла

                                                

                                             (1.4.2) 

 
 
Рисунок 1.5 –  Размещение зондов на образце произвольной формы при  измерениях 
методом Ван-дер-Пау проводимости (левый рисунок) и эдс Холла (правый рисунок) 
 
Ван-дер-Пау показал, что удельное сопротивление образца определяется соотношением: 
                   

                                           (1.4.3) 
 
Поскольку уравнение (1.4.3) является трансцендентным, то Ван-дер-Пау предложил ввести коэффициент f, зависящий от отношения (таблица 2). Это позволило ему выразить ρ в явном виде: 

                        

                          (1.4.4) 

Значения f приведены  в таблице, из которой видно, что f изменяется

незначительно, в то время  как отношение меняется на несколько порядков.

Таблица 2 – зависимость коэффициента f, от отношения

№ п,п		f
1	1	1.0
2	2	0.95
3	5	0.81
4	10	0.69
5	20	0.59
6	50	0.46
7	100	0.40
8	200	0.34
9	500	0.29
10	1000	0.25

 

Для измерения постоянной Холла выбираются другие пары контактов (конфигурация контактов близка к скрещенной): через 1 и 3 пропускается ток I₁₃ , а между 2 и 4 измеряется напряжение U₂₄ . Сопротивление, определяемое по отношению этих величин 
                                                        

                                       (1.4.5) 
изменится на величину dR _13,24 , если перпендикулярно плоскости пластины включить однородное магнитное поле B. Можно показать, что постоянная Холла в этом случае будет равна: 
                                                       

                                                   

                                 (1.4.6) 

1.5 Определение концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводнике методом эффекта Холла

 

Исследования эффекта  Холла позволяют определить основные электрофизические свойства полупроводников.

Определив величину , для различных температур, можно построить зависимость концентрации носителей заряда в функции от температуры. Учитывая, что температурная зависимость концентрации носит экспоненциальный характер, её строят в координатах . Это позволяет представить зависимость концентрации свободных носителей заряда от температуры в виде совокупности прямых линий. Как видно из (рис. 1.8), график разбит на три области.

Рисунок 1.5 - Зависимость концентрации носителей заряда от температуры

Область I называется областью низких температур. Образование свободных носителей заряда происходит за счёт перехода электронов с донорного уровня в зону проводимости для полупроводника n–типа электропроводности, а для полупроводника p–типа электроны переходят из валентной зоны на акцепторный уровень. Энергия активации примесного уровня определяется из уравнения

                                                                                                   (1.5.1)

где k – постоянная Больцмана,

                                                

                                               (1.5.2)

Область II – область истощения примеси. Как видно из рисунка, концентрация свободных носителей заряда не зависит от температуры. Это соответствует тому, что все электроны с донорного уровня перешли в зону проводимости в полупроводнике n-типа электропроводности, а для

полупроводников p-типа электропроводности заполнены все энергетические

состояния на акцепторном уровне электронами, перешедшими из валентной

зоны. В этой области  концентрация свободных носителей заряда равна концентрации примесных атомов.

Область III является областью высоких температур. Здесь энергия теплового хаотического движения электронов kT соизмерима с величиной запрещённой зоны . Поэтому электроны переходят из валентной зоны в зону проводимости, при этом образуются парные носители заряда: электрон и дырка. Ширина запрещённой зоны может быть определена из графика (см. рис. 1.5) посредством следующего выражения:

                                                     

                                                     (1.5.3)

Величина  определяется по графику применительно к области III.

Исследования эффекта  Холла позволяют измерить не только концентрацию свободных носителей заряда, но и их подвижность. Подвижность носителей заряда m это скорость дрейфа носителей заряда в электрическом поле единичной напряженности. Она  определяется по формуле:

                                                                                                           (1.5.4)

где s - электропроводность полупроводника. Зная величины и s для нескольких температур, можно построить температурную зависимость подвижности  носителей  заряда,  график  которой  строится в координатах

 

Рисунок 1.6 - Зависимость подвижности носителей заряда от температуры

 

На (рис. 1.6) приведен пример температурной зависимости подвижности носителей заряда в полупроводнике. Величина подвижности зависит от механизмов рассеяния носителей заряда. В области высоких температур, когда амплитуда колебаний узлов кристаллической решетки велика, происходит рассеяние носителей заряда на фононах. Подвижность носителей заряда пропорциональна и соответственно для полупроводников, содержащих невырожденный и вырожденный электронный газ. При низких температурах рассеяние носителей заряда происходит на ионизированных примесях. Этот механизм рассеяния носителей заряда заключается в следующем: движущиеся электроны либо притягиваются к атому примеси,

либо отталкиваются  от него благодаря кулоновским силам, действующим между заряженными частицами, в зависимости от знака заряда примеси. В результате, при рассеянии на ионизированных примесях изменяется по направлению скорость движения электронов. Для полупроводников, содержащих невырожденный электронный газ, подвижность носителей заряда пропорциональна . Подвижность носителей заряда для случая вырожденного электронного газа не зависит от температуры.

 

 

Если величина подвижности  носителей заряда определяется несколькими

механизмами рассеяния, то доминирующий механизм определяется из

соотношения  

                                                    ,                                     (1.5.5)

где , , – соответственно подвижность носителей заряда, обусловленная рассеянием на фононах, ионизированных и нейтральных примесях. Как следует из этого уравнения, преобладающим является тот механизм, который обуславливает минимальное значение величины подвижности носителей заряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Расчёт электрофизических параметров полупроводника методом эффекта Холла

 

2.1 Определение постоянной Холла и типа электропроводности исследуемого полупроводника

 

Для начала следует отметить, что исходные данные, необходимые  для выполнения этой работы размещены  на листе задания в таблице 1. 

Изобразим исследуемый  полупроводник, предполагая что он обладает дырочной электропроводностью:

Рисунок 2.1 -  Возникновение эффекта Холла в дырочном полупроводнике

 

Суть эффекта Холла: при пропускании электрического тока вдоль полупроводника, помещённого в магнитное поле, силовые линии которого направлены перпендикулярно направлению электрического тока, возникает поперечная разность потенциалов, называемая ЭДС Холла. Если электрический ток переносится

 

 

 

 

дырками, то поперечное электрическое  поле будет противоположно

направлению полю Холла для полупроводника n-типа электропроводности.

Подобное явление наблюдается  и в нашем случае. Данное предположение можно выдвинуть, основываясь на расчёте постоянной Холла по формуле (2.1.1), где представляет собой величину напряжённости поперечного электрического поля, равную отношению разности потенциалов, то есть Э.С.Д. Холла к длине исследуемого полупроводника:

                                                           

                                                     (2.1.1)

 

  - плотность тока, прошедшего через площадку ( ):

                                                               

                                                                                                                       (2.1.2)

В результате чего формула (1.3.3) преобразуется к виду:

 

                                                                                                                       (2.1.3)

В формуле фигурирует магнитная индукция , в исходных данных же дано значение напряжённости магнитного поля . Запишем формулу, связывающую эти две величины:  

                                              (2.1.4)

где - магнитная проницаемость, .

Используя данные таблицы 1 рассчитываем постоянную Холла для различных значений Э.Д.С. Холла:

                                                               (2.1.5)

и заносим результаты в таблицу 3.

№ п,п
1 2 3 4 5 6 7 8 9	0.08 0.07 0.03 0.004 0.0035 0.0035 0.0009 0.0006 0.00003	1.067·10–9 9.333·10–10 4·10–10 5.333·10–11 4.667·10–11 4.667·10–11 1.2·10–10 8·10–11 4·10–13

Таблица 3 – Зависимость постоянной Холла от Э.Д.С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.2 – График зависимости постоянной Холла от Э.Д.С

Все значения постоянной Холла положительны, а, как известно знак постоянной Холла совпадает со знаком носителей заряда. Следовательно, по величине можно судить о типе электропроводности. Например, для

электронного типа проводимость , для дырочного типа электропроводности . Таким образом, исследуемый полупроводник имеет дырочную электропроводность.

 

 

2.2 Расчёт концентрации носителей заряда в полупроводнике

 

Зная величину постоянной Холла , можно определить концентрацию свободных носителей заряда по формуле:

                                                                                                                        (2.2.1)

Подставим вместо R_H формулу (2.1.3) и получим:

 

                                                                                                          (2.2.2)