Эффект Холла

Выразим J_y из формулы (1.2.3) и подставим в формулу (1.2.2):

                                              (1.2.4)

E_x - напряженность Холловского поля.

Или   – коэффициент Холла.

 

                                                      (1.2.5)

справедливо лишь для  вырожденных полупроводников (r_x=1). X=R_x - коэффициент Холла.

Заметим, что r_x=1 и для сильных магнитных полей, например когда (m_n(p) - подвижность).

Формулы

и

получены исходя из допущения, что все носители заряда в проводнике (или полупроводнике) обладают одной  и той же скоростью u. Такое допущение может быть справедливо для металлов и вырожденных полупроводников и неприменимо к невыржденным полупроводникам, скорость носителей заряда в которых распределена по закону Максвелла-Больцмана. Поэтому, более строгий вывод, учитывающий это обстоятельство, и приводит к следующему выражению для R_x:

 или 

где r_x - коэффициент, зависящий от механизма рассеяния носителей зарядов в кристаллах.

Для полупроводников n-типа и большинства металлов коэффициент  Холла отрицательный

 

 

                                               (1.2.6)

Для полупроводников p-типа

                                         (1.2.7)

Параметр r_х, входящий в формулы (1.2.6) и (1.2.7) называется множителем Холла; его значение колеблется от 1 до 2 и зависит от механизма рассеяния носителей при различных температурах.

На рис.1.2 при высоких температурах , т.к. , и (рассеяние на тепловых колебаниях кристаллической решетки).

r_x=1 - для вырожденных полупроводников и для рассеяния на нейтральных

 

примеси, т.к. при этом m от T не зависит,

при низких температурах преобладает  рассеяние на ионной примеси и 

 

, т.к.  , и .

Э.Д.С. Холла, т.е. поперечная разность потенциалов между боковыми гранями пластинки полупроводника с электропроводностью p-типа

                                              (1.2.8.)

Значение скорости дырок  определим из формулы тока:

                     (1.2.9)

 

Выразим из формулы (1.2.9.) v_y:

                                       (1.2.10)

E - напряженности поля от внешнего источника питания.

Тогда, подставив (1.2.10.) в (1.2.8.), получим:

                           (1.2.11)

e_x - э.д.с. Холла (или напряжение Холла)

для полупроводника n-типа

                                       (1.2.12.)

 Тогда Холловская напряженность будет равна:

                                         (1.2.13.)

При наличии магнитного поля результирующая напряженность  электрического поля Е_рез сдвинута от Е_дрейф на угол Холла j (рис 1.3).

τ²- среднее значение квадрата

(τ)² - квадрат среднего значения

Е_y – дрейфовая

j – угол Холла

Е_x – напряжённость Холла (Холловское электрическое поле)

Анализ подвижности носителей  показывает, что если ,

τ - среднее время пробега, то

                                                (1.2.14)

 

и множитель Холла  , а значит .

И т.к. среднее значение квадрата всегда больше (или равно) квадрата среднего значения ( )², то . Таким образом : это объясняется тем, что в одном лишь электрическом поле дрейфовая скорость носителей заряда u_др постоянна по направлению, а сила, действующая на электрон в электрическом поле в любой момент времени определятся одной и той же (хотя, вообще говоря, и зависящей от направления поля) эффективной массой. В магнитном же поле траектория электрона не прямолинейна, а сила, на него действующая, не зависит от дрейфовой скорости. Поэтому в анизотропной системе ускорение электрона в разные моменты времени определяется различными эффективными массами.

Измеряя э.д.с. Холла в некотором  диапазоне температур, получают экспериментальные  данные для построения зависимости  концентрации носителей заряда от температуры на которой можно вычислить энергию ионизации доноров или акцепторов, концентрацию электрически активной примеси. Если при этом одновременно измерять удельное сопротивление материала, то с помощью формулы ;(r - удельное сопротивление, g - удельная проводимость, m_n - подвижность) можно найти подвижность носителей заряда и построить ее температурную зависимость. Рассчитанную по формуле подвижность называют Холловской. В полупроводнике со смешанной проводимостью электроны и дырки перемещаются в разные стороны, но сила Лоренца отклоняет их в

одну сторону, поэтому  расчет коэффициента Холла с учетом носителей двух типов

                                       (1.2.15)

или

а для собственных  полупроводников  и знак R_x определяется соотношением m_n и m_p.

Эффект Холла интересен  не только как метод определения  характеристик полупроводников, но и как принцип действия ряда полупроводниковых приборов - измерители магнитной индукции, бесконтактные измерители тока, фазочувствительные детекторы и т.д. Магниторезисторы - электрическое сопротивление зависит от напряженности роля.

Численное значение "холловской" подвижности может расходиться с подвижностью дрейфовой ; m_nx может быть больше m_n как вследствие (см. приведенное ранее) так и вследствие временных задержек перемещающихся носителей заряда на ловушках захвата

 

                                                (1.2.16)

И еще, известно что

                                  (1.2.17)

                                (1.2.18)

                                               (1.2.19)

и значит

                                                     (1.2.20)

где    .

В примесном дырочном полупроводнике при переходе к собственной 

проводимости э.д.с. Холла проходит через нуль и меняет знак (т.к. m_p<m_n).

У полупроводников Rx на много  порядков выше ( , ), чем у металлов

 

(

, ).

Это объясняется тем, что концентрация электронов в металлах значительно больше. Однако подвижность носителей в полупроводниках значительно больше, чем в металлах.

В металлах эффект Холла  проявляется аналогично рассмотренному случаю.

Отметим, что величина |R_н| для проводящих твердых тел и полупроводников в том числе не зависит от индукции магнитного поля в слабых полях и лишь в сильных полях уменьшается от до (т.е. изменяется r_x до 1) при любом механизме рассеяния.

У металлов R_x=R_н имеет порядок 10-10 м3/Кл. У полупроводниковых соединений она возрастает вплоть до 10² м³/Кл (Si). Аномально большие значения постоянной Холла у металлов V группы (Bi, Sb, As) - до 10^-6 м³/Кл. Отметим, что R_x отрицательна у материалов с электронной проводимостью, но у ряда металлов (например, Cd, Zn) R_x положительна. Это объясняется тем, что зона проводимости подобных веществ заолнена почти полностью и оставшиеся незаполненные уровни введут себя как положительные заряды - дырки.

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Объяснение эффекта Холла с точки зрения электронной теории

 

Если металлическую  пластинку, вдоль которой течет  постоянный электрический ток, поместить  в перпендикулярное к ней магнитное  поле, то между гранями, параллельными  направлениям тока и поля возникает  разность потенциалов U=j₁-j₂ (смотри рис 1.3). Она называется Холловской разностью потенциалов (в предыдущем пункте – ЭДС Холла) и определяется выражением:

u_h =R∙b∙j∙B                                                   (1.3.1)

 

 

 

Рисунок 1.3 – Пластина, помещённая в перпендикулярное магнитное поле

 

Здесь  b — ширина пластинки, j — плотность тока, B — магнитная индукция поля, R — коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Холла. Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией, отсутствие магнитного поля ток в пластинке

обусловливается электрическим  полем Е_о (смотри рис 1.4).

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.4 – Эффект Холла в металлической пластине

Эквипотенциальные поверхности  этого поля образуют систему перпендикулярных к вектору Е_о скоростей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямыми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следовательно, и в точках 1 и 2 одинаков. Носители тока —

электроны — имеют отрицательный  заряд, поэтому скорость их упорядоченного движения и направлена противоположно вектору плотности тока j.

При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под  действием магнитной силы F, направленной вдоль стороны b пластинки и равной по модулю

F=e∙u∙B                                               (1.3.2)

В результате у электронов появляется составляющая скорости,

направленная к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой грани 

образуется избыток  отрицательных, соответственно у нижней грани — избыток положительных  зарядов. Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле Е_B. Тогда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать

силу (2.2), установится  стационарное распределение зарядов  в поперечном направлении. Соответствующее значение E_B определяется условием:

 

          eE_B=e∙u∙B

Отсюда:

Е_B=u∙В                                              (1.3.3)

Поле Е_B складывается с полем Е_о в результирующее поле E. Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рис. 1.4 пунктиром. Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение возникающее между этими точками, нужно умножить расстояние между ними b на напряженность Е_B:

 

U∙H=b∙E_B=b∙u∙B

 

Выразим u через j, n и e в соответствии с формулой j=neu. В результате получим:

                                          (1.3.4)

 

Последнее выражение  совпадает с (1.3.1), если положить

                                               (1.3.5)

Из (1.3.5) следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т. е. число носителей в единице объема).

Важной характеристикой  вещества является подвижность в  нем носителей тока. Подвижностью носителей тока называется средняя  скорость,

приобретаемая носителями при напряженности электрического поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость u то

 

 

подвижность их μ равна:

 

                                                  (1.3.6)

Подвижность можно связать  с проводимостью s и концентрацией носителей n. Для этого разделим соотношение j=neu на напряжённость поля Е. Приняв во внимание, что отношение j к Е дает s, а отношение u к Е –

подвижность, получим:

s=n∙e∙μ                                                  (1.3.7)

Измерив постоянную Холла R и проводимость s, можно по формулам (1.3.5) и (1.3.7) найти концентрацию и подвижность носителей тока в соответствующем образце.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Измерения эффекта Холла в образцах произвольной формы (метод Ван-Дер-Пау)

 

Ван-дер-Пау решил задачу об измерении электрического удельного сопротивления и постоянной Холла для полупроводниковых пластин любой геометрической формы. Предложенный им метод оказался прост в реализации и потому получил широкое распространение. Суть его заключается в следующем. На периферии плоскопараллельной пластины толщиной d (к ее торцам) закрепляются четыре контакта ( рис. 1.5). Через контакты 1 и 2 к образцу подводится ток I₁₂ , а между контактами 3 и 4 будет падение напряжения U₃₄ . Отношение этих величин будет иметь размерность электрического сопротивления: 
                                                                                                  (1.4.1) 
 
Теперь изменим схему измерений: пропустим ток между контактами 2 и 3 , а напряжение измерим между контактами 1 и 4. В этой ситуации аналогичная величина с размерностью сопротивления равна: