Анализ и синтез оптимальной одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов

 

      А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0 .

      (-1)3A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

      А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z - 0.7817

 

      Обратный  полином

 

      [pic].

 

      Разделим A(z) на A0(z).

 

|[pic]                                |[pic]                             |

|-([pic])                             |-0.7817=q0, |q0|<1                |

 

 

0,3852z-0,7686z2+0,3888z3

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A1(z)= 0,3852-0,7686z+0,3888z2,

      A10(z)= 0,3888-0,7686z+0,3852z2.

 

      Разделим A1(z) на A10(z).

 

|0,3852-0,7686z+0,3888z2            |0,3888-0,7686z+0,3852z2            |

|-(0,3852-0,7614z+0,3816z2)         |0,99065=q1, |q1|<1                 |

 

 

-0.00718z+0.00723z2

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A2(z)= 0.007238z-0.007187.

 

      В результате  расчетов получили, что   q0,  q1,  q2  по  модулю  меньше

еденицы,  таким образом  все три неравенства выполняются.  Следовательно

цифровая система устойчива.

 

       Система  с ПИ-регулятором.

      Характеристический  полином имеет вид:

      Степень  полинома n=4. Множество qi = {q0, q1, q2}.

      А(1)= [pic]>0.

      (-1)4A(-1)= [pic]>0.

      [pic].

      Обратный полином:

      [pic].

 

      Разделим A(z) на A0(z).

 

|0.78-3.326z+5.3001z2-3.756z3+ z4   |1-3.7556z+5.3001z2-3.32z3+0.7834z4  |

|-(0.78-2.943z+4.152z2-2.606z3+0.61z|0,783447=q0, |q0|<1                 |

|4)                                 |                                    |

 

 

-0,383z+1.147z2-1.1506z3+0,3861 z4

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A1(z)= -0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3,

      A10(z)= -0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3.

 

      Разделим A1(z) на A10(z).

 

|-0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3  |-0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3   |

|-(-0,383+1.141z-1.138z2 +0,3801 z3)|-0,992116=q1, |q1|<1               |

 

 

0,006046z-0,01207z2+0,00605z3

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A2(z)= 0,006046z-0,01207z2+0,00605z3,

      A20(z)= 0,00605-0,005474z2-0,006046z3.

 

      Разделим A2(z) на A20(z).

 

|0,006046z-0,01207z2+0,00605z3      |0,00605-0,005474z2-0,006046z3      |

|-(0,006046z-0,01207z2+0,00603z3)   |0,99774=q2, |q2|<1                 |

 

 

-0,000027278z+0,000027353z2

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A3(z) = -0,000027278z+0,000027353z2

 

      В результате  расчетов получили, что  q0, q1, q2 по  модулю меньше

еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно

цифровая система устойчива.

 

       Система  с ПИД-регулятором.

 

      Характеристический  полином имеет вид:

      Степень  полинома n=5. Множество qi = {q0, q1, q2, q3}.

А(1)=[pic]>0.

(-1)5A(-1)=[pic]>0.

[pic],

      Обратный полином:

[pic].

 

      Разделим A(z) на A0(z).

 

|[pic]                                  |[pic]                           |

|[pic]                                  |0,01589163=q0, |q0|<1           |

 

 

0,7347z-3,1644z2+5,102835z3-3,6802818z4+0,999747z5

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A1(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4,

      A10(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z2-3,1644z3+0,7347z4.

 

      Разделим A1(z) на A10(z).

 

|0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818|0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818|

|z3+0,999747z4                      |z3+0,999747z4                      |

|-(0,7347-2.704z+3.750z2-2.3256z3+0.|0,734938361=q1, |q1|<1             |

|53999z4)                           |                                   |

 

 

-0,4596z+1,3255z2-1,3545z3+0,4597z4

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A2(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3,

      A20(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3.

 

      Разделим A2(z) на A20(z).

 

|-0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3  |-0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3  |

| -0,4596-1,3244z+1,3525z2+0,4595z3 |-0,99986442=q2, |q2|<1             |

 

 

-0,0288981z-0,02926z2+0,91927z3

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A3(z)= -0,0288981-0,02926z+0,91927z2,

      A30(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z2.

 

      Разделим A3(z) на A30(z).

 

|-0,0288981-0,02926z+0,91927z2      |0,91927-0,02926z-0,02889881z2      |

|0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z2  |0,0314359=q2, |q2|<1               |

 

 

-0,0305301z+1.028762z2

 

      Домножим полученный результат на z-1, тогда:

 

      A4(z)= -0,0305301+1.028762z.

 

      В результате  расчетов получили, что  q0, q1, q2 по  модулю меньше

еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно

цифровая система устойчива.

 

       После  того, как определили устойчивость  системы по критерию Джури,

необходимо построить  переходный процессы в замкнутых цифровых системах.

 

 

       Для построения  переходных процессов в замкнутых  цифровых системах

воспользуемся обратным z-преобразованием.

 

 

       Eсли функция имеет m-полюсов zk={z1, z2,…, zn} , то:

 

 

 

                      [pic],                    (4.13)

 

 

где A(zk) – числитель функции W3(z);

      B’(zk) – производная знаменателя функции W3(z);

 

      Замкнутая  система с П – регулятором.

      Передаточная  функция для цифровой замкнутой  системы с П-регулятором

имеет вид:

 

                                    [pic]

 

      Переходная  функция замкнутой системы равна:

 

                                   [pic].

 

      Для вычисления  f[n] найдем полюса функции

 

                                   [pic].

 

       Полюся функции:

 

                                   z1 = 1;

                                z2 = 0,8422;

                            z3 = 0,954 – j0,313;

                             z4= 0,954 – j0,313.

 

       Производная  знаменателя функции:

 

                     B’(z) = -11.25z2+10.574z-3.317+4z3.

       Подставим  значение полюсов функции и  значение производной в формулу

(4.13), получим выражение  для :

 

где a = z1;

      b = z2;

      c = z3;

      d = z4;

                                    [pic]

 

 

      Изобразим  переходый процесс на рисунке 4.2

 

 

                                    [pic]

 

      Рисунок  4.2 - Переходный процесс в системе  с П – регулятором

 

      Замкнутая  система с ПИ – регулятором.

      Передаточная  функция для цифровой замкнутой  системы с ПИ-регулятором

имеет вид:

 

                                   [pic];.

 

      Переходная  функция замкнутой системы равна:

 

                                   [pic].

 

      Для вычисления  f[n] найдем полюса функции

 

                                   [pic].

 

       Полюся функции:

 

                                   z1 = 1;

                                 z2 = 0.847;

                                 z3 = 0.965;

                            z4 = 0.973 – j0.0113;

                            z5= 0.973 + j0.0113.

 

       Производная  знаменателя функции:

 

                B’(z) = 5z4-19.027z3+27.171 z2-17.253z+4.110

 

       Подставим  значение полюсов функции и  значение производной в формулу

(4.13), получим выражение  для f[n]:

где а = z1;

       b = z2;

       c = z3;

       d = z4;

       e = z5;

 

                                    [pic]

 

      Изобразим  переходый процесс на рисунке 4.3

 

                                    [pic]

      Рисунок  4.3 - Переходный процесс в системе  с ПИ – регулятором

 

      Замкнутая  система с ПИД – регулятором.

      Передаточная  функция для цифровой замкнутой  системы с ПИД-регулятором

имеет вид:

 

                                   [pic].

 

      Переходная  функция замкнутой системы равна:

 

                                   [pic].

 

      Для вычисления  f[n] найдем полюса функции

 

                                   [pic].

 

       Полюся функции:

 

                                   z1 = 1;

                                z2 = -0,021;

                                 z3 = 0,84;

                             z4 = 0,935-j0,171;

                              z5= 0,935+j0,171;

                                  z6=0,98.

 

       Производная  знаменателя функции:

 

            B’(z) = 6z5-23.347 z4+34.893 z3-24.39 z2+7.505z-0.660

 

       Подставим  значение полюсов функции и  значение производной в формулу

(4.13), получим выражение  для f[n]:

 

                                    [pic]

 

где а = z1;

      b = z2;

      c = z3;

      d = z4;

      e = z5;

      f = z6.

 

      Изобразим  переходый процесс на рисунке 4.4

 

[pic]

 

Рисунок 4.4 - Переходный процесс  в системе с ПИД – регулятором.

 

 

 

       5 Расчет  цифрового фильтра

 

 

       Для   расчета  цифрового  фильтра,  переводящего  линейную  часть   из

начального в конечное состояние за минимальное число  периодов квантования  и

обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие,  необходимо

вычислить  минимально  возможный   период   квантования,   но   чтобы   было

удовлетворено условие:

 

 

 

                     |Um – q0|(0,05,              (5.1)

 

 

 

где Um = 1,0.

 

 

 

       Вычисление  значения  q0  следует  начать  с   определения   значений

коэффициентов  числителя  Z-передаточной  функции  приведенной   непрерывной

части для  принятого  периода  дискретности.  Пусть  Z-передаточная  функция

приведенной непрерывной  части представима в виде:

 

 

       [pic].                      (5.2)

 

       Тогда  Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового

фильтра Wф(z) имеет вид:

 

       [pic],                      (5.3)

 

 где  pi = biq0, i = 1,2,…,m;

       qi = aiq0, i = 1,2,…,m;

       [pic].

 

      Воспользуясь формулой (4.7) для Wнч(z) . Находим функции bi ,  аi    и

Т0.

      Для коэффициентов  bi имеем:

 

                           [pic];           (5.4)

                                 [pic];(5.5)

                              [pic].      (5.6)

 

       Для коэффициентов  аi имеем:

 

                         [pic];                (5.7)

                         [pic];                (5.8)

                   [pic].                           (5.9)

 

       Найдем  выражение для q0 :

 

[pic][pic]. (5.10)

 

 

      Определим  Т0 при котором выполняется условие (5.1), для этого

построим график зависимости  и изибразим его на следующем рисунке 5.1.

 

                                    [pic]

 

      Рисунок  5.1 – График зависимости |Um – q0(Т0)|

 

      При построении  графика видим, что Т0 = 4,61 , q0(Т0) = 1,002.

      Определим  коэффициенты       , подставив найденное значение Т0 в

выражение (5.4) и (5.5):

 

       b1(Т0) = 0,718;

       b2(Т0) = 0,332;

       b3(Т0) = -0,052;

       a1(Т0) = -0,932;

       a2(Т0) = 0,281;

       a3(Т0) = -0,027;

 

       Подставляя  найденные значения в выражения  (5.2) и (5.3) определим

передаточные функции  приведенной непрерывной части  и цифрового фильтра.

 

       [pic].              (5.7)

 

    [pic].     (5.8)

 

       Находим  Z – передаточную функцию для  разомкнутой цифровой системы  по

формуле:

 

             Wp(z) = Wн.ч.(z) * Wф(z).                    (5.9)

 

       Определим  Z – преобразованную функцию замкнутой  системы по каналу

задание – управляюшее воздействие по формуле:

 

                         [pic],               (5.10)

 

 

 

       Определим  Z – преобразованную функцию замкнутой  системы по каналу

задание – выходной сигнал по формуле:

 

                         [pic],               (5.10)

 

       Пусть  f – функция определяющая зависимость между q0  от   Т0,  т.е.

q0=f(Т0), тогда f –1 – обратная ей функция,  т.е.  Т0=f  –1(q0).  Для того,

чтобы найти период квантования  необходимо минимизировать функцию

 

Т0=f –1(q0) с учетом условия (5.1).

       Так как  в явном виде  функцию  Т0=f  –1(q0)  вывести сложно,  но  из

графика видно, что она  монотонно убывает, следовательно минимум на  отрезке

q0 ( [3,45; 3,55] будет при q0=3,55.

       Расчет  Т0 сводится к решению уравнения

       [pic].     (5.11)

Для  решения  данного  уравнения  воспользуемся  алгоритмом   поиска   корня

уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

       Т0 =1,25.

 

       Подставляя  значение  Т0  =1,25  в   выражения   (5.4)-(5.9)   найдем

коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной  части.

 

 

       Тогда

 

       [pic].              (5.12)

При этом q0 =3,540075. Согласно формуле (5.3)

    [pic].     (5.13)

       Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой  цифровой системы. Она равна

Wр(z)=Wнч(z)(Wф(z) и равна

[pic]. (5.14)

       Z-передаточная  функция замкнутой цифровой системы  по каналу задание –

управляющие воздействие  равна

       [pic]                            (5.15)

и равна

[pic].

       Z-передаточная  функция замкнутой цифровой системы  по каналу задание –

выходная величина равна

       [pic]                            (5.16)

       и равна

[pic].

       Вычислим  коэффициенты усиления по указанным  каналам.  По  определению

коэффициент усиления есть отношение  изменения   на  выходе  к  изменению  на