Анализ и синтез оптимальной одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов

 

      Тогда выражение  (2.1) будут иметь вид:

 

                        [pic][pic] ,            (2.2)

 

      Найдем передаточную  функию для замкнутой системы с П – регулятором,

т.е. Wp(p) = Кp . Кp – оптимальное значение, найденное в первом разделе ,

т. е. Кp = 1.01.

      Предаточная функция замкнутой системы с П – регулятором имеет

следующие вид:

 

                          [pic],             (2.3)

 

      Переходная  функция замкнутой системы:

 

                         [pic],               (2.4)

 

      Найдем полюса  фунгкции (2.4).

      Для этого  необходимо найти корни следующего  уравнения:

 

                                p([pic]) = 0.

 

      Они равны:

 

                                   p1 = 0;

                                p2 = - 0.435;

                            p3 = - 0.181 – j0.34;

                            p4 = - 0.181 + j0.34.

 

      Переходная  функция для замкнутой системы  с П – регулятором будет

иметь следующий вид:

 

  h(t) = 0.757-0.052e-0.424t * cos(0.254t) - 0.3857e-0.181t * sin(0.354t).

 

      Построим  переходный процесс функции, изобразим  график этого процесса

на рисунке 2.1.

 

                                    [pic]

 

 

      Рисунок  2.1 – Переходный процесс в замкнутой  системе с П –

регулятором.

 

      Запишем  передаточную функцию для замкнутой  системы с ПИ –

регулятором, т.е.:

 

                                   [pic].

 

В качестве Кр и Тu берем значения, которые были получены в первом разделе,

т.е. берем Кр = 0.777 и Тu = 16.928. Тогда выражение передаточной функции

имеет следующие далее вид:

 

                             [pic],        (2.5)

 

      Запишем  предаточную функция замкнутой системы с ПИ – регулятором, для

этого воспользуемся формулой (2.1):

 

                          [pic],             (2.6)

 

      Переходная  функция замкнутой системы имеет  следующий вид:

 

                         [pic],               (2.7)

 

      Найдем полюса  фунгкции (2.7).

      Для этого  необходимо найти корни следующего  уравнения:

 

                                p([pic]) = 0.

 

      Они равны:

 

                                p1 = - 0.421;

                                p2 = - 0.075;

                            p3 = - 0.149 – j0.29;

                            p4 = - 0.149 + j0.29;

                                   p5 = 0.

 

      Переходная  функция для замкнутой системы  с ПИ – регулятором будет

иметь следующий вид:

 

      h(t) = 1- 0.0609e-0.421t – 0.757e-0.148t *cos(0.29t)-0.4870.148t

                          *sin(0.29t)-0.181e-0.075t

 

      Построим  переходный процесс функции, изобразим  график этого процесса

на рисунке 2.2.

 

                                    [pic]

 

      Рисунок  2.2 – Переходный процесс в замкнутой  системе с ПИ –

регулятором.

 

      Запишем  передаточную функцию для замкнутой  системы с ПИД –

регулятором, т.е.:

 

                                   [pic].

 

В качестве Кр , Тu и Тg берем значения, которые были получены в первом

разделе, т.е. берем Кр = 1.9456 , Тu = 7.506, и Тg = 0.976. Тогда выражение

передаточной функции  имеет следующий далее вид:

 

                             [pic],        (2.8)

 

      Запишем  предаточную функция замкнутой системы с ПИД – регулятором,

для этого воспользуемся  формулой (2.1):

 

                          [pic],             (2.9)

 

      Переходная  функция замкнутой системы имеет  следующий вид:

 

                         [pic],               (2.10)

 

      Найдем полюса  фунгкции (2.10).

      Для этого  необходимо найти корни следующего  уравнения:

 

                                p([pic]) = 0.

 

      Они равны:

 

                                   p1 = 0;

                            p2 = -0.405 – j0.116;

                            p3 = -0.405 + j0.116;

                            p4 = -0.039 – j0.192;

                            p5 = -0.039 + j0.192.

 

      Переходная  функция для замкнутой системы  с ПИД – регулятором будет

иметь следующий вид:

 

h(t) = 1 – 0.2927e-0.404t*cos(0.1157t)- 0.032e-0.404t*sin(0.1157t)- 0.6934e-

             0.038t*cos(0.1918t)- 0.2055e-0.0388t*sin(0.1918t).

 

      Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса

на рисунке 2.3.

                                    [pic]

 

      Рисунок  2.3 – Переходный процесс в замкнутой  системе с ПИД –

регулятором.

 

      3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ПЕРИОДА КВАНТОВАНИЯ ЦИФРОВОГО  РЕГУЛЯТОРА И ПЕРЕСЧЕТ ЕГО

ВАРАМЕТРОВ

 

      Необходимо  выяснить соответствие коэффициентов  неопределенногои

цифрового регуляторов. Для выбора периода измерений цифрового регулятора

строим амплетудно – частотную характеристику замкнутой системы и определяем

частоту среза, при которой  значение амплетуды на выходе не превышает три

проценты от амплитуды  при нулевом значении частоты.

      Для этого возьмем передаточные функции замкнутой системы (для все

типов регуляторов), которые  были найдены во втором задании курсовой работы.

      Передаточная  функция замкнутой системы с  П – регулятором:

 

                          [pic],             (3.1)

 

      Передаточная  функция замкнутой системы с  ПИ– регулятором:

 

                          [pic],             (3.2)

 

      Передаточная  функция замкнутой системы с  ПИД – регулятором:

 

                          [pic],             (3.3)

 

      Выражение  амплетудно – частотной характеристики для системы с П –

регулятором будет иметь  следующий вид:

 

                       [pic].                   (3.4)

 

      Выражение  амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИ –

регулятором будет иметь  следующий вид:

 

                              [pic].     (3.5)

 

      Выражение  амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИД –

регулятором будет иметь  следующий вид:

 

                               [pic].   (3.6)

 

      Така как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то

необходимо решить уравнение  следующего вида:

 

                        [pic].                 (3.7)

 

      При решении  уравнений было получено:

      -частота  среза для системы имеющей  в стоем составе П – регулятор wс =

2.25;

      -частота  среза для системы имеющей в стоем составе ПИ – регулятор wс =

1.6738;

      -частота  среза для системы имеющей в стоем составе ПИД – регулятор wс

= 3.8194.

      Частоту  измерений принимают как:

 

                          [pic],              (3.8)

 

где wc = 3.8194 (наибольшее значение), при котором период квантования равен

T0 = 0.411.

 

      Так как  полученное значение меньше заданного,  то произведем пересчет

параметров.

      В общем  виде дискрктную передаточную функцию искоиого элемента можно

записать следующим образом:

 

                            [pic].          (3.9)

 

      В нашем  случае выражение (3.9) примет вид:

 

                         [pic],               (3.10)

 

где     [pic];

          [pic];

           [pic].

 

      C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных

регуляторов в параметры  цифровых.

      Запишем  передаточные функции непрерывных  регуляторов:

      - П – регулятор

 

                    Wp(p) = 1.01;                 (3.11)

 

      - ПИ –  регулятор

 

                        [pic];                 (3.12)

 

      - ПИД –  регулятор

 

                         [pic].               (3.13)

 

      После вычисления  коэффициентов q0,  q1 и q2 дискрктные передаточные

функции будут иметь вид:

      - П – регулятор

 

                        [pic];                 (3.14)

 

      - ПИ –  регулятор

 

                     [pic];                       (3.15)

 

      - ПИД –  регулятор

 

                      [pic].                    (3.17)

 

 

 

      4 АНАЛИЗ  УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ

ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ

 

      При анализе  цифровых систем управления их  представляют в виде трех

элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной

непрерывной части.

 

где  y – дискретное значение регулируемой величины;

       f – заданное значение регулируемой величины;

       e – ошибка управления;

       u – управляющее воздействие.

 

      Рисунок  4.1 Структурная схема цифровой  системы автоматического

управления

 

      Так как  в системе имеет мести фиксатор  нулевого порядка с

передаточной функцией вида:

 

                         [pic],                (4.1)

 

то с учетом того, что  z = e –pT , эту функцию можно записать в следующем

далее виде:

 

                        [pic].                  (4.2)

 

      Сомножитель  1/р относят к линейной части, поэтому передаточная

функция приведенной непрерывной  части может быть записана в следующем  виде:

                        [pic].                  (4.3)

 

 

      Так как

 

                                    [pic]

                                   [pic],

 

переходная фнукция ленейной части системы, то z – передаточную функцию

линейной части находим  по следующему выражению:

 

                          [pic].              (4.4)

 

      Найдем выражение  для передаточной функции линейной  части:

 

                        [pic].                  (4.5)

 

      Для вычисления  h(t) воспользуемся методом неопределенных

коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти

корни следйющего уравнения:

 

                               ([pic])*р = 0.

 

      Решив данное  уравнение мы получили , что его корни следующего вида:

                                   p1 = 0;

                                 p2 = - 0,2;

                                p3 = - 0,33;

                                 p4= -0,25.

 

      Переходная  функция линейной части имеет  следующий вид:

 

      h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1 .       (4.6)

 

      С учетом  формулы (4.4) получаем

 

                                   [pic].

 

      После раскрытия  скобок и приведения подобных мы получаем равенство в

следующем виде:

                       [pic].                    (4.7)

 

      Результирующая  передаточная функция разомкнутой  системы может быть

определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной

чати и передаточной функции цифрового фильтра:

 

                         [pic].                (4.8)

 

      Дискретная  передаточная функция замкнутой  системы:

 

                      [pic].                      (4.9)

 

      Определим  значение W3(z) для каждой из систем:

 

      - система  с П – регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн.ч.(z) – определеня по

        формуле  (4.7), тогда:

 

                           [pic];           (4.10)

 

 

      - система  с ПИ – регулятором.

 

                                   [pic];

 

       Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

 

                           [pic];           (4.11)

 

      - система  с ПИД – регулятором.

 

                                   [pic],

       Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

 

                         [pic].              (4.12)

 

      После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций

для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

      Критерий  устойчивости заключается в следующем.

      Пусть задан А(z) – характкристический полином:

 

                  A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an,    a0 > 0.

 

      Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой

коэффициентов исходного в обратном порядке:

 

                       A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.

 

      Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления

число q0 и остаток А1(z) – полином n-1 степени.

      Домножим полученый результат на z-1 получаем:

 

                  A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).

 

      Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое

q1 и A2(z)

 

                                [pic] и т.д.

 

      Выполняя  деление полиномов Ai(z)  на  обратные  ему Ai0(z),  получаем

последовательность чисел  qi = {q0, q1, q2,…,qn-2}.

      Необходимым   и  достаточным  условием  устойчивости  цифровой  системы

является неравенства:

 

                          А(1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;

                  (-1)nА(-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;

                           |qi|<1, i=0,1,2,…,n-2.

 

      Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем.

 

      Система  с П-регулятором.

      Характеристический  полином имеет следующий вид: