Рисунок 13 – Структурная схема надежности

     Исходные  данные:

     γ = 65%;

     λ₁ = λ₁₄ = λ₁₅ =0,1;

     λ₂ = λ₃ = λ₄ = λ₆ = λ₇ = λ₈ = 0,2;

     λ₅ = λ₉ = 0,4;

     λ₁₀ = λ₁₁ = λ₁₂ = λ₁₃ = 0,5;

     1. В исходной схеме элементы 2 и 6 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая, что р₂ = р₆, получим:

           р_А = 1 – (1- р₂)². (71)

     2. Элементы 3, 5, 7 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом В, для которого при р₅ =р₉ , и р₃ =р₇ получим:

                                   р_В = 1 –(1- р₅) ² ∙(1- р₃) ². (72)

     3. Элементы 4 и 8 образуют параллельное  соединение, поэтому объединяем их в квазиэлемент F, и при р₄ = р₈ вероятность безотказной работы находится по формуле:

                                   р_F = 1 – (1- р₄)². (73)

     4. Элементы 10 , 11 , 12 и 13 образуют соединение  “2 из 4”, которое заменяем элементом C. Так как р₁₀ =р₁₁ =р₁₂ = р₁₃, то для определения вероятности безотказной работы элемента C можно воспользоваться комбинаторным методом. Формулу для расчета системы “2 из 4” выбираем из таблицы 3.2:

           р_С = 6р² -8р³ +3р⁴ (74)

     5. Элементы 14 и 15 соединены параллельно,  поэтому заменяем их квазиэлементом D. Т.к р₁₄ =р₁₅ , то вероятность безотказной работы элемента будет определяться по формуле:

           р_F = 1 –(1- р₁₄) ². (75)

     Преобразованная схема изображена на рисунке 14.

     

Рисунок 14 – Преобразованная структурная схема

  6. В преобразованной схеме (рисунок 15) элементы 1, А, В, F, С и D образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы:

                       р_с-мы = р₁∙ р_A∙ р_B∙ р_F∙ р_C∙ р_D (76)

     7. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рисунок 13) подчиняются экспоненциальному закону:

           р_i = exp( - λ_i∙t) (77)

     8.  Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов       1 - 15 исходной схемы по формуле для наработки до _3∙10⁶ часов представлены в таблице 1.

     9. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D и F по формулам   также представлены в таблице1.

     10.  На рисунке 15 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.

     11. По графику (рисунок 15, кривая P) находим для γ = 65%, (Р_γ =0,65)   - процентную наработку системы Т_γ =1,09∙10⁶ ч.

     12.  Проверочный расчет при t_γ =1,09∙10⁶ ч показывает (таблица1), что Р_γ =0,65.

     13.  По условиям задания повышенная γ - процентная наработка системы Т'_γ =1,5∙ Т_γ =1,5∙1,09∙10⁶  =1,64∙10⁶ ч. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1 - Расчет вероятности безотказной работы системы

 
 

     

     Рисунок 15 - Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р), системы с повышенной надежностью (Р`) и системы со структурным резервированием элементов (Р``).

     14.  Расчет показывает (таблица 1), что при t =1,64∙10⁶ ч для элементов преобразованной схемы (рисунок 15), р₁ = 0,839037, р_А = 0,9222, р_В = 0,9820,   р_F =0,9222, р_C = 0,5951 и   р_D = 0,9772 . Следовательно, из четырех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент С (система “2 из 4” в исходной схеме (рисунок13)) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом .

     15. Для того, чтобы при Т'_γ   =1,64∙10⁶ ч система в целом имела вероятность безотказной работы Р_γ =0,65 , необходимо, чтобы элемент С имел вероятность безотказной работы (см. формулу )

           р_С = = =0,94926   (78) 

     Очевидно, значение р_С, полученное по формуле (78), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1,5 раза, при более высоких значениях р_С увеличение надежности системы будет большим.

     16.  Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 10 - 13 (рисунок 13) необходимо решить уравнение (74) относительно р₁₀ при р_С = 0,94926. Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определенными трудностями , более целесообразно использовать графо-аналитический метод. Для этого по данным таблицы 1 строим график зависимости р_С = f(р₁₀). График представлен на рисунке 16.

 

 Рисунок 16 - Зависимость вероятности безотказной работы системы    “2 из 4” от вероятности безотказной работы ее элементов.

 17.  По графику при р_С = 0,94926, находим р₁₀ = 0,755.

     18. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (7.10), то для элементов 10 - 13 при t =1,64∙10⁶ ч находим:

                             λ₁₀ = λ₁₁ = λ₁₂ = λ₁₃ = - = 0,171  ч .                 (79)

     19. Таким образом, для увеличения γ  - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 10, 11, 12 и 13 и снизить интенсивность их отказов с 0,5 до 0,171 ч , т.е. в 2,9 раза.

     20. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 10, 11, 12 и 13 приведены в таблице 1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы системы “2 из 4” С' и системы в целом P`. При t =1,64∙10⁶ ч вероятность безотказной работы системы Р_γ = 0,6602 , что соответствует условиям задания. График приведен на рисунке 15.

     21. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования - по тем же соображениям также выбираем элемент С, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже р_С = 0,94926 (см. формулу (78)).

     22. Для элемента С - системы “2 из 4” - резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция дискретна.

     23. Для повышения надежности системы “2 из 4” добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 10 - 13, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента С не достигнет заданного значения.

     Для расчета воспользуемся комбинаторным методом :

         - добавляем элемент 16, получаем  систему “2 из 5”:

     р_С= 1 -  = 1 – ( 1 – p₁₀)⁵ + 5p₁₀(1 – p₁₀)⁴ =                                                         0,8965 < 0,94926 .                                                                                          (80)

     - добавляем элемент 17, получаем систему “2 из 6”:

     р_С= 1 -  = 1 – ( 1 – p₁₀)⁶ + 6p₁₀(1 – p₁₀)⁵ =                      0,8257 < 0,94926.                                                                                          (81) 

         - добавляем элемент 18, получаем систему “2 из 7”:

     р_С= 1 -  = 1 – ( 1 – p₁₀)⁷ + 7p₁₀(1 – p₁₀)⁶ =                      0,94958 > 0,94926.                                                                                              (82)

                                                                                       

   24.  Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме (рисунок 13) систему “2 из 4” достроить элементами 16, 17 и 18 до системы “2 из 7” (рисунок 17).

   

   Рисунок 17 – Структурная схема системы после структурного              резервирования

   25.  Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы “2 из 5” С'' и системы в целом P`` представлены в таблице 1.

   26.  Расчеты показывают, что при t =1,64∙10⁶ , Р''_с-мы ≥0,65 , что соответствует условию задания.

   27.  На рисунке нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов 10 - 13 (кривая ) и после структурного резервирования (кривая ). 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

       На рисунке 15 представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая ). Из графика видно, что 65% - наработка исходной системы составляет 1,09∙10⁶ часов Для повышения надежности и увеличения 65% - наработки системы в 1,5 раза (до 1,64∙10⁶ часов) предложены два способа:

         а) повышение надежности элементов 10, 11, 12 и 13 и уменьшение их отказов с 0,5 до 0,171∙10^-6 ч ;

         б) нагруженное резервирование основных элементов 10, 11, 12 и 13 идентичными  по надежности резервными элементами 16, 17 и 18 (рисунок 18).

       Анализ зависимостей вероятности  безотказной работы системы от  времени (наработки) (рисунок 16) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до 1,64 ∙10⁶ часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая ) выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список использованных источников

     1. Острейковский В.А. Теория надежности: Учеб. для вузов.-М.: Высш.шк.,2003.-463 с.