Для расчета надежности мостиковых систем можно воспользоваться методом прямого перебора, как это было сделано для систем “m из n“, но при анализе работоспособности каждого состояния системы необходимо учитывать не только число отказавших элементов, но и их положение в схеме.   Вероятность безотказной работы системы определяется как сумма вероятностей всех работоспособных состояний:

                          (41)

     В случае равнонадёжных элементов

                          (42)

     Метод прямого перебора эффективен только при малом количестве элементов n, поскольку число состояний системы составляет . Например,  для схемы на рисунок 4б их количество составит уже 256.

     Для составления логической схемы можно  воспользоваться двумя методами - минимальных путей и минимальных сечений.

     Минимальным путем называется последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает ее работоспособность, а отказ любого из них приводит к ее отказу.

     Для мостиковой системы из пяти элементов (рисунок 4а) минимальных путей четыре: (элементы 1 и 4), (2 и 5), (1, 3 и 5), (2, 3 и 5). Логическая схема такой системы (рисунок 5) составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального пути были соединены друг с другом последовательно, а все минимальные пути параллельно.

                        

                                    а)              б)

     Рисунок 5 – Логическая схема мостиковой системы: а) методом минимальных путей, б) методом минимальных сечений

     Метод минимальных путей дает точное значение только для сравнительно простых систем с небольшим числом элементов. Для более сложных систем результат расчета является нижней границей вероятности безотказной работы.

     Для расчета верхней границы вероятности  безотказной работы системы служит метод минимальных сечений.

     Минимальным сечением называется набор неработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого  из них - к восстановлению работоспособности системы. Как и минимальных путей, минимальных сечений может быть несколько.

     В мостиковой системе (рисунок 4а) минимальных сечений четыре (элементы  1 и 2), (4 и 5), (1, 3 и 5) , (2, 3 и 4). Логическая схема системы   (рисунок 5) составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального сечения были соединены друг с другом параллельно, а все минимальные сечения - последовательно.

     В ряде случаев анализа надежности ТС удается воспользоваться методом разложения относительно особого элемента, основанными на известной в математической логике теореме о разложении функции логики по любому аргументу. Согласно ей, можно записать:

                                                                (43)

     где и - вероятности безотказной работы и отказа i - го элемента, и -вероятности работоспособного состояния системы при условии,  что i - й элемент абсолютно надежен и что i - й элемент отказал.

     Для мостиковой схемы (рисунок 4а) в качестве особого элемента целесообразно выбрать диагональный элемент 3. При мостиковая схема превращается в параллельно - последовательное соединение (рисунок 6а), а при - в последовательно - параллельное   (рисунок 6б).

            

           а) б)

     Рисунок 6- Преобразование мостиковой схемы при абсолютно надежном (а) и отказавшем (б) центральном элементе

     Для преобразованных схем можно записать:

                                (44)

                                                         (45)

     Тогда на основании формулы (43) получим:

                                      (46)

     Легко убедиться, что для равнонадёжных элементов формула (46) обращается в (42).

     Этим  методом можно воспользоваться  и при разложении относительно нескольких “особых” элементов. Например, для  двух элементов (i, j) выражение (43) примет вид:

                            (47)

     Вероятность безотказной работы мостиковой схемы (рисунок 4б) при разложении относительно диагональных элементов 3 и 6 по (47) определится:

                           (48)

     Вероятности легко ставить, выполнив предварительно преобразованные схемы, подобно рисунку 6а, 6б.

                   

     4.5  Комбинированные системы

     Большинство реальных ТС имеет сложную комбинированную структуру, часть элементов которой образует последовательное соединение, другая часть - параллельное, отдельные ветви элементы или ветви структуры образуют мостиковые схемы или типа “m из n”.

     Метод прямого перебора для таких систем оказывается, практически не реализуем. Более целесообразно в этих случаях  предварительно произвести декомпозицию системы, разбив ее на простые подсистемы - группы элементов, методика расчета надежности которых известна. Затем эти подсистемы в структурной схеме надежности заменяются квазиэлементами с вероятностями безотказной работы, равными вычисленным вероятностям безотказной работы этих подсистем. При необходимости такую процедуру можно выполнить несколько раз, до тех пор, пока оставшиеся квазиэлементы не образуют структуру, методика расчета надежности которой также известна.

                 

     Рисунок 7 – Исходная и преобразованная схемы

     В качестве примера рассмотрим комбинированную  систему, представленную на рисунке 7. Здесь элементы 2 и 5, 4 и 7, 9 и 12, 11 и 14 попарно образуют друг с другом последовательные соединения. Заменим их соответственно квазиэлементами А, В, С, Д, для которых расчет надежности элементарно выполняется по формулам п. 3.1. Элементы 15, 16, 17 и 18 образуют параллельное соединение, а элементы 3, 6, 8, 10 и 13 - систему “3 из 5”. Соответствующие квазиэлементы обозначим E и F. В результате преобразованная схема примет вид, показанный на рисунок 6а. В ней в свою очередь элементы А, В, С, Д, F образуют мостиковую схему, которую заменяем квазиэлементом 6. Схема, полученная после таких преобразований (рисунок 6б),   образует последовательное соединение элементов 1, G, E, 19. Отметим, что метод прямого перебора для исходной системы потребовал бы рассмотреть    возможных состояний. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     5 Повышение надежности технических систем

     5.1 Методы повышения надежности

     Расчетные зависимости для определения  основных характеристик надежности ТС показывают, что надежность системы зависит от ее структуры (структурно - логической схемы) и надежности элементов. Поэтому для сложных систем возможны два пути повышения надежности: повышение надежности элементов и изменение структурной схемы.

     Повышение надежности элементов на первый взгляд представляется наиболее простым приемом  повышения надежности системы. Однако практическая реализация такой высокой надежности элементов может оказаться невозможной. Изменение структуры системы с целью повышения надежности подразумевает два аспекта.

     С одной стороны, это означает перестройку  конструктивной или функциональной схемы ТС (структуры связей между составными элементами), изменение принципов функционирования отдельных частей системы (например, переход от аналоговой обработки сигналов к цифровой). Такого рода преобразования ТС возможны исключительно редко, так что этот прием, в общем, не решает проблемы надежности.

     С другой стороны, изменение структуры  понимается как введение в ТС дополнительных, избыточных элементов, включающихся в  работу при отказе основных. Применение дополнительных средств и возможностей с целью сохранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких его элементов называется резервированием.

     Принцип резервирования подобен рассмотренному ранее параллельному соединению элементов и соединению типа “n из m”, где за счет избыточности возможно обеспечение более высокой надежности системы, чем ее элементов.

     Выделяют  несколько видов резервирования (временное, информационное, функциональное и др.). Для анализа структурной надежности ТС интерес представляет структурное резервирование - введение в структуру объекта дополнительных элементов,  выполняющих функции основных элементов в случае их отказа.

     Классификация различных способов структурного резервирования осуществляется по следующим признакам:

       1) по схеме включения резерва:

         -  общее резервирование, при котором резервируется объект  в целом;

         - раздельное резервирование, при котором резервируются отдельные  элементы или   их   группы; 

         - смешанное резервирование, при котором различные виды  резервирования сочетаются в одном объекте;

       2) по способу включения резерва:

         -   постоянное  резервирование, без перестройки  структуры объекта при возникновении  отказа его элемента;

         -   динамическое  резервирование, при котором при  отказе элемента происходит перестройка  структуры схемы. В свою очередь  подразделяется на:

           а) резервирование замещением, при котором функции основного  элемента передаются резервному только после отказа основного;

           б) скользящее резервирование, при котором несколько основных элементов резервируется одним  или несколькими резервными, каждый из которых может заменить любой основной (т.е. группы основных и резервных элементов идентичны).

       3) по состоянию резерва:

         -  нагруженное  резервирование, при котором резервные  элементы (или один из них) находятся  в режиме основного элемента;

         -  облегченное  резервирование, при котором резервные  элементы (по крайней мере один из них) находятся в менее нагруженном режиме по сравнению с основными;

         -  ненагруженное  резервирование, при котором резервные  элементы до начала выполнения  ими функций находятся в ненагруженном  режиме.

     Основной  характеристикой структурного резервирования является кратность резервирования - отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими основных элементов, выраженное несокращаемой дробью (типа 2:3; 4:2 и т.д.). Резервирование одного основного элемента одним резервным (т.е. с кратностью  1:1) называется дублированием.

     Количественно повышение надежности системы в  результате резервирования или применения высоконадежных элементов можно оценить по коэффициенту выигрыша надежности, определяемому как отношение показателя надежности до и после преобразования системы. Например, для системы из n последовательно соединенных элементов после резервирования одного из элементов (k-го) аналогичным по надежности элементом коэффициент выигрыша надежности по вероятности безотказной работы составит

               (49) 

     Из  формулы (49) следует, что эффективность резервирования (или другого приема повышения надежности) тем больше, чем меньше надежность резервируемого элемента (при , при ). Следовательно, при структурном резервировании максимального эффекта можно добиться при резервировании самых ненадежных элементов ( или групп элементов).