Олигополия: максимизация прибыли в современном мире

С учетом формулы 2.3, получаем:

     (2.6)

Лидер осознает, что при выборе объема выпуска общий производимый выпуск составит : его собственный выпуск плюс выпуск, производимый ведомым.

Намереваясь изменить объем  своего выпуска, лидер должен осознавать влияние, оказываемое им на ведомого.

Решение по Стэкельбергу можно проиллюстрировать графически с помощью изопрофитных кривых. В качестве примера на рисунке 2.2 представлены кривые реакции для случая линейной зависимости между ценой и объемом выпуска фирмами. Изопрофитные кривые для фирмы 1 имеют ту же общую форму, что и изопрофитные кривые для фирмы 2; они просто повернуты на 90°. Более высокая прибыль для фирмы 1 связывается с более низкими изопрофитными кривыми, так как прибыль фирмы 1 будет расти по мере уменьшения выпуска фирмы 2.

Рис. 2.2 Равновесие по Стэкельбергу

Фирма 2 ведет себя как ведомый, а это означает, что она будет выбирать выпуск, перемещаясь вдоль своей кривой реакции, . Следовательно, фирма 1 хочет выбрать такую комбинацию выпуска на кривой реакции, которая дает ей наивысшую возможную прибыль. Но получение наивысшей возможной прибыли означает выбор такой точки на кривой реакции, в которой эта кривая касается самой низкой изопрофитной линии, как показано на рис.2.2.

2.3 Лидерство в ценообразовании

Вместо того чтобы  устанавливать объем выпуска, лидер может устанавливать цену. Чтобы принять разумное решение в отношении того, как установить цену, лидер должен прогнозировать поведение ведомого. Сначала исследуем задачу максимизации прибыли, стоящую перед ведомым¹⁰.

В равновесии ведомый должен всегда устанавливать ту же самую цену, что и лидер. Это следует из принятой нами предпосылки, что обе фирмы продают одинаковые продукты. Если бы одна из фирм запросила цену, отличную от цены другой фирмы, все потребители предпочли бы производителя с более низкой ценой, и тогда невозможно было бы получить равновесие, в котором производили бы обе фирмы.

Пусть лидер установил цену . Тогда ведомый принимает эту цену заданной и выбирает исходя из этого объем выпуска, максимизирующий его прибыль. В модели лидерства в ценообразовании ведомый считает цену находящейся вне своего контроля, поскольку она уже была установлена лидером.

Ведомый хочет максимизировать  прибыль:

        (2.7)

Это ведет к условию, состоящему в том, что ведомый  захочет выбрать объем выпуска в точке, где цена равна предельным издержкам. Это определяет кривую предложения для ведомого , которая проиллюстрирована рис.2.3.

Рис.2.3 Кривая остаточного  спроса для лидера

Обратимся теперь к задаче, стоящей перед лидером. Лидер понимает, что если он установит цену , ведомый предложит рынку . Это означает, что объем выпуска, продаваемый лидером, составит . Эта кривая называется кривой остаточного спроса для лидера.

Предположим, что лидер  имеет постоянные предельные издержки производства . Тогда прибыль, которую он получит при любой цене , задается выражением:

  (2.8)

Чтобы максимизировать  прибыль, лидер стремится выбрать комбинацию цены и выпуска, соответствующую точке, в которой предельный доход равен предельным издержкам. Однако кривая предельного дохода должна быть кривой предельного дохода для кривой остаточного спроса, фактически показывающей, сколько выпуска может продать лидер при каждой данной цене. Лидер приравнивает предельный доход к предельным издержкам, чтобы найти оптимальный объем предложения, . Общий объем выпуска, предлагаемый рынку, есть , а равновесная цена - .

2.4 Одновременное установление объемов выпуска

Одна из трудностей, связанных с моделью "лидер — ведомый", состоит в том, что эта модель является асимметричной: одна из фирм может принять решение до того, как это сделает другая. В некоторых ситуациях это необоснованно. Предположим, например, что две фирмы одновременно пытаются решить, какой объем выпуска производить. В этом случае чтобы принять разумное решение, каждая из фирм должна спрогнозировать, каков будет выпуск другой фирмы.

При наличии такого прогноза каждая фирма затем выбирает для  себя объем выпуска, максимизирующий  прибыль. А затем ищет равновесия в прогнозах — ситуации, в которой мнение каждой фирмы относительно предполагаемого поведения другой подтверждается. Эта модель известна как модель Курно, названная в честь французского математика XIX в., первым исследовавшего ее значение.

Пусть согласно ожиданиям фирмы 1 фирма 2 произведет единиц выпуска.. Если фирма 1 решит произвести единиц выпуска, то согласно ее ожиданиям общий произведенный объем выпуска составит и будет продан по рыночной цене . Задача максимизации прибыли для фирмы 1 тогда принимает вид

      (2.9)

При любом данном мнении относительно объема выпуска  фирмы 2, для фирмы 1 будет существовать некий оптимальный выбор объема выпуска . Запишем эту функциональную взаимосвязь между ожидаемым выпуском фирмы 2 и оптимальным выпуском фирмы 1 как

         (2.10)

Данная функция есть просто функция реакции. В данном случае функция реакции показывает оптимальный выбор одной фирмы как функцию ее ожиданий в отношении выбора другой фирмы. Подобным же образом можно определить реакцию фирмы 2:

         (2.11)

Она показывает оптимальный выбор объема выпуска фирмы 2 при данных ожиданиях в отношении объема выпуска фирмы 1.

Вспомним теперь, что  каждая из фирм выбирает свой объем выпуска, предполагая, что выпуск другой фирмы будет равен соответственно или . Для произвольных значений и это произойти не может вообще говоря, оптимальный объем выпуска фирмы 1, будет отличаться от ожидаемого фирмой 2 объема выпуска фирмы 1.

Таким образом необходимо найти комбинацию объемов выпуска , чтобы при предположении о том, что фирма 2 производит , оптимальный объем выпуска для фирмы 1 составил , а оптимальный объем выпуска для фирмы 2 при предположении, что фирма 1 по-прежнему производит , составил . Другими словами, выбор объемов выпуска удовлетворяет уравнениям

         (2.12)

         (2.13)

Такая комбинация объемов  выпуска известна как равновесие по Курно. В равновесии по Курно каждая из фирм максимизирует свою прибыль при данных ожиданиях относительно выбора объема выпуска другой фирмой, и, более того, эти ожидания в равновесии сбываются: каждая фирма в оптимуме решает производить именно тот объем выпуска, производства которого ожидает от нее другая фирма. В равновесии по Курно ни одна из фирм не сочтет для себя выгодным изменить объем выпуска, как только обнаружит, каков выбор, фактически сделанный другой фирмой.

Пример равновесия по Курно представлен на рис.2.4. Равновесие по Курно — это просто пара объемов выпуска, при которых пересекаются две кривые реакции. В такой точке каждая фирма производит объем выпуска, максимизирующий ее прибыль при заданном выборе объема выпуска другой фирмы.

Рис. 2.4 Процесс установления равновесие по Курно

Рассмотрим процесс  установления равновесия по Курно (Рис.2.4). Пусть в момент времени t фирмы производят объемы выпуска , которые не обязательно являются равновесными. Если фирма 1 ожидает, что фирма 2 собирается продолжать производить выпуск , то в следующем периоде фирма 1 захочет выбрать объем выпуска, максимизирующий ее прибыль с учетом данного ожидания, а именно, . Следовательно, выбор фирмы 1 в период будет задан уравнением

         (2.14)

Фирма 2 может рассуждать таким же образом, поэтому выбор  фирмы 2 в следующем периоде будет  задаваться уравнением

         (2.15)

Эти уравнения описывают, каким образом каждая фирма изменяет свой объем выпуска узнав выбор другой фирмы. Рис.2.4 иллюстрирует перемещение точек выпуска двух фирм, подразумеваемое таким поведением, до установления равновесия по Курно. В этом случае равновесие по Курно является устойчивым равновесием.

Процесс установления равновесия по Курно на самом деле затруднителен. Это связано с тем, что каждая из фирм предполагает, что выпуск другой фирмы при переходе от одного периода к другому остается постоянным, но, как оказывается, обе фирмы все время изменяют свой выпуск. Лишь в равновесии ожидания одной фирмы в отношении выбора объема выпуска другой фирмой действительно сбываются.

Теперь рассмотрим равновесие по Курно для случая многих фирм.

Пусть в равновесии по Курно находятся не две, а несколько фирм. Предположим, что каждая фирма имеет определенные ожидания в отношении выбора объемов выпуска другими фирмами отрасли, и попытаемся описать равновесный выпуск.

Допустим, что в отрасли  существует фирм, и обозначим общий выпуск отрасли через . Тогда условие "предельный доход равняется предельным издержкам" для i-й фирмы есть

     (2.16)

Если вынеся за скобку и умножить второй член на , можем записать это уравнение как

   (2.17)

Применив определение  эластичности кривой совокупного спроса и обозначив долю общего рыночного  выпуска i-й фирмы через  , можно свести это уравнение к виду

     (2.18)

Преобразуя это выражение  получим

    (2.19)

Можно считать эластичностью кривой спроса для фирмы: чем меньше рыночная доля фирмы, тем более эластичной является кривая спроса для нее.

Если рыночная доля равна 1, т.е. фирма является монополистом, то кривая спроса для фирмы есть кривая рыночного спроса, так что данное условие просто сводится к условию для монополиста. Если фирма представляет собой очень малую часть большого рынка, ее рыночная доля по существу равна нулю, и кривая спроса для фирмы по сути дела горизонтальна. Следовательно, данное условие сводится к условию для чисто конкурентной фирмы: цена равна предельным издержкам.

2.5 Одновременное установление цен

Согласно данному подходу фирмы устанавливают цены на свой выпуск, оставляя за рынком определение объемов продаж. Эта модель известна, как конкуренция по Бертрану.

Выбирая цену, фирма должна предвидеть цену, устанавливаемую другой фирмой отрасли. Так же, как в случае равновесия по Курно, необходимо найти пару цен такую, что каждая из них является выбором, максимизирующим прибыль при заданном выборе цены другой фирмой.

В ситуации когда фирмы  продают, одинаковые продукты, структура  равновесия по Бертрану оказывается  конкурентным равновесием в точке, где цена равна предельным издержкам. Цена никогда не может быть меньше предельных издержек, поскольку иначе каждая из фирм увеличила бы свою прибыль, начав производить меньше. Остается рассмотреть случай когда цена больше предельных издержек. Пусть обе фирмы продают выпуск по некоторой цене , которая выше предельных издержек. Если фирма 1 снизит свою цену на любую малую величину и если другая фирма сохранит свою цену на уровне , то все потребители захотят покупать продукт у фирмы 1. Снизив цену на произвольно малую величину, эта фирма сможет увести у фирмы 2 всех покупателей.

Если фирма 1 действительно  думает, что фирма 2 назначит цену , большую, чем предельные издержки, ей всегда будет выгодно снизить цену до . Но фирма 2 может рассуждать точно так же. Следовательно, в равновесии не может существовать никакая цена, которая была бы выше предельных издержек; единственно возможное равновесие — конкурентное.

Часто можно наблюдать, что в результате конкурентных торгов с участием фирм, не готовых к  сговору, устанавливаются цены, много  ниже тех, к которым можно было бы придти каким-то другим способом. Это  явление есть не что иное как пример логики конкуренции по Бертрану.

2.6 Сговор

В представлееных в данной главе моделях фирмы действовали независимо друг от друга. Однако в случае вступления фирм в сговор с целью совместного определения выпуска эти модели выглядят не очень разумными. Если сговор возможен, то фирмам выгоднее выбрать объем выпуска, максимизирующий общую прибыль отрасли, и затем разделить прибыль между собой. Объединение фирм в целях установления таких цен и объема выпуска, которые максимизировали бы общую прибыль отрасли¹¹.

Таким образом, задача максимизации прибыли для двух фирм состоит в выборе таких объемов выпуска и , которые бы максимизировали общую прибыль отрасли:

   (2.20)

Тогда условия оптимальности для данной задачи имеют вид

  (2.21)

  (2.22)

Если фирма 1 задумает увеличить выпуск на , то следует ожидать двух обычных эффектов: получения добавочной прибыли от продажи большего объема выпуска и сокращения прибыли вследствие снижения цены. Однако рассматривая второй эффект, она теперь учитывает эффект снижения цены как на свой выпуск, так и на выпуск другой фирмы. Это связано с тем, что теперь она заинтересована в максимизации не только своей прибыли, но и общей прибыли отрасли.