Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью модели Марковица

    Построение  вероятностного пространства <S, Р>, где Р — вероятная мера, определенная на произвольных множествах событий, — первый этап в построении вероятностной модели рынка. Следующим этапом является формализация понятия доходности и риска.

    В модели Марковица это делается следующим  образом. Каждому активу a ставится в соответствие случайная величина , представляющая доходность этого актива для выбранного инвестиционного горизонта Т. Ее конкретное значение или реализация — это значение доходности , которое инвестор может вычислить по прошествии инвестиционного периода.

    Формально случайная величина определяется как  функция, определенная на пространстве состояний. В современных обозначениях это можно записать как:

    

    R  - множество вещественных чисел.

    Более традиционная запись имеет вид:

    

.

    На  практике редко используется описание случайной величины исходя из ее формального  определения. Чаще прибегают к такой  важной ее характеристике, как ее распределение. Распределение для дискретной (т.е., принимающей конечное число значений) случайной величины строится следующим образом. Сначала перечисляются всевозможные ее значения:

    

    а затем для каждого из этих значений ( ) определяется его вероятность:

    

.

    Таким образом, распределение дискретной случайной величины можно задать таблицей вида:

 

    С точки зрения теории вероятностей в  распределении содержится «вся»  необходимая информация о случайной  величине. Неудобство состоит в том, что распределение является функцией, в дискретном случае задаваемой таблично. Непосредственное использование распределений (таблиц) при сравнении активов  затруднительно, поскольку в реальности число «различимых» значений доходности может быть достаточно большим.

    На  практике вместо распределений часто  используются лишь важнейшие количественные характеристики случайной величины — ее математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

    Если  R — случайная величина, заданная на дискретном вероятностном пространстве <S, р>, то ее математическим ожиданием называется число, определяемое выражением:

    

.

    Эта формула использует исходное определение  случайной величины. Однако математическое ожидание можно вычислить непосредственно по ее распределению. Так, для случайной величины, распределение которой описывается в табл. 1, соответствующая формула имеет вид:

    

.

    Математическое  ожидание часто называют средним значением случайной величины — оно представляет собой число, вокруг которого «группируются» значения случайной величины.

    В теории Марковица математическое ожидание есть формальный аналог понятия «ожидаемой доходности».

    Следующей важнейшей характеристикой случайных  величин является дисперсия, которая  характеризует «степень отклонения» (разброс) случайной величины от ее среднего значения. Ее также называют (особенно в финансовой литературе) вариацией. Дисперсия задается выражением:

    

.

    Иными словами, это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсию  можно вычислять исходя из основного  определения случайной величины, в этом случае вместо случайной величины R рассматривается случайная величина , являющаяся функцией от исходной величины R. Дисперсию можно вычислить и по распределению случайной величины:

    

.

    Здесь   — математическое ожидание случайной величины R.

    Из  определения дисперсии видно, что  она имеет размерность квадрата размерности величины R. Для того чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику той же размерности, вместо дисперсии часто используют среднеквадратичное или стандартное отклонение:

    

.

    В модели Марковица дисперсия или, что, по существу, то же самое, стандартное  отклонение служит мерой риска актива. При этом принимается важное соглашение, состоящее в том, что инвестор при принятии инвестиционных решений основывается лишь на упомянутых двух характеристиках активов и их портфелей: ожидаемой доходности, представляемой математическим ожиданием, и риске, представляемом дисперсией. Такой подход получил в англоязычной финансовой литературе название “mean — variance approach» (mean — среднее, variance — вариация, дисперсия). Следует отчетливо понимать, что упомянутое соглашение есть постулат портфельной теории Марковица.

    Выбор двух количественных характеристик  или критериев — ожидаемой  доходности и риска — делает задачу выбора оптимальной стратегии инвестирования двукритериальной. Если эта стратегия состоит в инвестировании всего капитала лишь в актив одного вида, то необходимо, чтобы он был наилучшим сразу по двум этим критериям, т.е. обладал наибольшей доходностью и наименьшим риском.

    Допустим, что инвестора удовлетворяет  любая доходность, но совершенно не устраивает большой риск имеющихся  активов. В этом случае инвестор вместо выбора одного актива, скорее всего, составит портфель из них, стремясь по возможности  «диверсифицировать» (перераспределить) риск с целью уменьшения его количественной оценки. Степень возможности такой  диверсификации зависит от характеристики, служащей мерой связи (в вероятностном  статистическом смысле) между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ковариации. Для любых двух случайных величин и , определенных на вероятностном пространстве <S, p>, эта характеристика определяется следующим образом:

    

.

    Заметим, что в случае совпадения случайных  величин, т.е. , ковариация превращается в дисперсию:

    

.

    На  ковариацию «оказывают влияние» не только связь между величинами и , но и их дисперсии. Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами, прибегают к нормированию ковариации. Такая нормированная величина называется коэффициентом корреляции:

    

.

    В отличие от ковариации, которая может  принимать любые значения, коэффициент  корреляции по абсолютной величине всегда меньше 1:

    

.

    При этом для совпадающих случайных  величин коэффициент корреляции равен в точности 1:

    

.

    Как ковариация, так и корреляция являются симметричными функциями от случайных величин, т. е.

    

 и

    

    Параметрическая модель рынка, или рынок по Марковицу  описывается тройкой:

    

,

    где — конечный набор активов, составляющих рынок,

      — вектор ожидаемых доходностей,  т. е.  — математическое ожидание случайной величины , представляющей доходность актива за выбранный инвестиционный период Т, а

     - ковариационная матрица порядка  n,

    где — ковариация случайных величин и причем в случае i=j:

    

,

    т. е. диагональные элементы задают дисперсию (риск) активов.

    Марковиц  разработал очень важное для современной  теории портфеля ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные  части. С одной стороны, это так  называемый рыночный (систематический) риск, который нельзя исключить, и  которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С  другой – собственный (или несистематический) риск для каждой конкретной цепной бумаги, который можно избежать при  помощи управления портфелем ценных бумаг.

    Модель  Марковица можно определить как  практически-нормативную, что, конечно, не означает навязывания инвестору  определенного стиля поведения  на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы  на практике.

3. Задача  Марковица. 

 

    Инвестору требуется определить наилучший  набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью  получения определенной прибыли  с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный  в ценную бумагу j - го вида, характеризуется  двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора  желательно, чтобы ожидаемая прибыль  на один доллар вложений была для всего  набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

    Заметим, что для правильного моделирования  этой задачи от математика требуются  определенные базовые знания в области  портфельной теории ценных бумаг.

    Обозначим известные параметры задачи:

    n —  число разновидностей ценных  бумаг; 

    а_j — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги

    j —  ожидаемая прибыль от j-го вида  ценной бумаги.

    Обозначим неизвестные величины:

    y_j — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

     По нашим обозначениям вся инвестированная  сумма выражается как   

     Для упрощения модели введем новые  величины

      

     Таким образом, х_i — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.

    Ясно, что 

     Из условия задачи видно, что цель инвестора — достижение определенного  уровня прибыли с минимальным  риском. Содержательно риск — это  мера отклонения фактической прибыли  от ожидаемой. Поэтому его можно  отождествить с ковариацией  

    прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М — обозначение математического ожидания.

    Математическая  модель исходной задачи имеет вид:

      

     при ограничениях

      
 

    (2.1)

    Мы  получили известную модель Марковица  для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

    Модель (2.1) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

    Задача  модели заключается в том, чтобы  показать, как поставленные цели достижимы  на практике.

    Задача 2.

     Для примера возьмем акции 4-х российских компаний  Газпром (GAZP), Дальсвязь(DLSV), Сургутнефтегаз (SNGS) и Роснефть (ROSN). Построим на основе котировок оптимальный портфель.

      Для начала рассчитаем дневную доходность по каждой акции за один год с 20.05.2009 по 20.05.2010. Формула расчета дневной  доходности (m_j) представлена (2.2):

                                                                          (2.2)

где:  Р_j -    цена акции на конец текущего дня; 
Р_j-1 - цена акции за предыдущий день.

В итоге  должна получится таблица дневных  доходностей каждой из акций (см. приложение 1)

Что бы рассчитать доходность для каждой акции  необходимо найти среднюю доходность акции за выбранный  период, в данном случае 1 год.