Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью модели Марковица

 ГОУ ВПО «АДЫГЕЙСКИЙ   ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

 
Кафедра алгебры и геометрии

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 
Соловей Екатерина Александровна

студентка 3-го курса очного отделения  
специальность 010200 «Прикладная математика» 

Оптимизация портфеля ценных бумаг  с помощью модели Марковица 
 

         Научный руководитель:

     ст.пр. Калашникова  С.И._______ 
 
 
 
 
 
 

      Майкоп, 2011 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………. 3

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ  АНАЛИЗЕ……………………………………………………………………….4

1. Линейное программирование…………………………………….4
2. Метод линейного программирования в экономическом   анализе……......................................................................................6

   1.3. Решение задач линейного программирования ………………………8

   1.4. Целочисленные задачи линейного программирования……………...10

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ………………………………………………………………17

   2.1. История создания инвестиционного портфеля……………………….17

2.2. Модель Марковица……………………………………………………..20

2.3. Задача Марковица……………………………………………………....27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………… 34

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………35

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………36 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ

     В последнее время многие коммерческие банки имеют достаточно большой  объем свободных средств, которые  возможно как инвестировать в  различные виды деятельности, так  и направить на приобретение ценных бумаг. При осуществлении инвестирования в ценные бумаги банк, как и любой  другой инвестор, сталкивается с различными целями инвестирования.

     Именно  портфель ценных бумаг является тем  инструментом, с помощью которого может быть достигнуто требуемое  соотношение всех инвестиционных целей, которое недостижимо с позиции  отдельно взятой ценной бумаги, и возможно только при их комбинации.

     Портфели  ценных бумаг коммерческих банков являются частью взаимосвязанной системы  портфелей более высокого уровня. Функционирование всей системы портфелей  подчинено интересам обеспечения  устойчивости и рентабельности института, обеспечения устойчивости всей финансовой системы.

     Этими факторами обусловлен выбор темы данной работы - Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью метода Марковица.

     Работа  состоит из двух глав, в которых подробно разобраны вопросы, имеющие непосредственное отношение к теме работы. В первой главе освящены основные принципы линейного программирования в экономическом анализе, выделены основные методы решения задач линейного программирования, в частности, решение целочисленных задач линейного программирования методом Гомори и решены задачи целочисленного линейного программирования. В второй главе рассмотрены история создания инвестиционного портфеля, модель Марковица, а также задача построения оптимального портфеля для российского фондового рынка.

 

ГЛАВА 1.  ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ  АНАЛИЗЕ

1. Линейное программирование

     Линейное программирование —  раздел математического программирования, применяемый при разработке методов  отыскания экстремума линейных  функций нескольких переменных  при линейных дополнительных  ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его  методы разделяются на универсальные  и специальные. С помощью универсальных  методов могут решаться любые  задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают  особенности модели задачи, ее  целевой функции и системы  ограничений.

     Особенностью задач линейного  программирования является то, что  экстремума целевая функция достигает  на границе области допустимых  решений. Классические же методы  дифференциального исчисления связаны  с нахождением экстремумов функции  во внутренней точке области  допустимых значений. Отсюда —  необходимость разработки новых  методов.

     Формы записи задачи линейного  программирования:

     Общей задачей линейного  программирования называют задачу

                        (1.1)

     при ограничениях

             (1.2)

               (1.3)

                 (1.4)

                            (1.5)

- произвольные                                                                                              (1.6)

 где              - заданные действительные числа; (1.1) – целевая функция; (1.2) – (1.6) –ограничения;                    - план задачи.

     Пусть ЗЛП представлена в следующей  записи:

                                                      (1.7)

                                       (1.8)

                                           (1.9)

     Чтобы задача (1.7) – (1.8) имела решение, система её ограничений (1.8) должна быть совместной. Это возможно, если  r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r=n система имеет единственное решение, которое будет при оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n. В этом случае система векторов содержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более . Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n – r переменных будут свободными, их обозначают СП. Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые m векторов Этому базису соответствуют базисные переменные , а свободными будут переменные .

     Если свободные переменные приравнять  нулю, а базисные переменные при  этом примут неотрицательные  значения, то полученное частное  решение системы (8) называют опорным  решением (планом).

    Задачи  оптимального планирования, связанные  с отысканием оптимума заданной целевой  функции (линейной формы) при наличии  ограничений в виде линейных уравнений  или линейных неравенств относятся  к задачам линейного программирования.

    Линейное  программирование - наиболее разработанный  и широко применяемый раздел математического  программирования. Это объясняется  следующим:

• математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
• эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;
• для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;
• многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;
• некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

    Математическая  модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

• максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);
• систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;
• требование не отрицательности переменных.

 

2. Метод линейного программирования в экономическом  анализе 
   

    Метод линейного программирования дает возможность  обосновать наиболее оптимальное экономическое  решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в  производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом  анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с  планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные  величины выпуска продукции, а также  направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

    При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных  задач, которое заключается в  нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций  переменных величин.

    Этот  период базируется на решении системы  линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические  явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод  линейного программирования используется для анализа переменных величин  при наличии определенных ограничивающих факторов.

    Весьма  распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации  затрат, осуществляемых в связи с  эксплуатацией транспортных средств  в условиях имеющихся ограничений  в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности  времени их работы, при наличии  необходимости обслуживания максимального  количества заказчиков.

    Кроме этого, данный метод находит широкое  применение при решении задачи составления  расписания. Эта задача состоит в  таком распределении времени  функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого  персонала, так и для клиентов организации.

    Данная  задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также  фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе  размещения и использования различных  видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования  деятельности организаций. 

 

1.3. Решение задач линейного программирования

Общей задачей  линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

                                                          (1.10)

при условиях  
 
 

где              - заданные постоянные величины и k ≤ m.

  Функция (1.10) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (1.10) — (1.13), а условия (1.11) — (1.13) — ограничениями данной задачи.

  Совокупность  чисел Х=(х₁,x₂,...,х_n), удовлетворяющих ограничениям задачи (1.11) — (1.13), называется допустимым решением (или планом).