Оптимизация портфеля ценных бумаг с помощью модели Марковица

      После II итерации получаем оптимальный план данной задачи Х= (15/2; 0; 0). При этом плане переменная x₁ приняла нецелочисленное значение. Поэтому необходимо перейти к новой задаче, добавив к системе ограничений (1.25) — (1.27) еще одно ограничение: 

 или                                                                                                              (1.28)

     Находим теперь решение задачи, состоящей  в определении максимального  значения функции (1.20) при условиях (1.25), (1.26) и (1.28). Данную задачу решаем двойственным симплекс-методом (табл. 2).

Таблица 2.

     Из  (табл. 2)  видно, что X*= (7; 1; 0) является оптимальным планом построенной задачи. Так как при этом плане переменные x₁ и x₂ принимают целые значения, то он также является оптимальным планом исходной задачи.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА  ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

1. История создания инвестиционного  портфеля 
   

    Под инвестированием в широком смысле понимается любой процесс, имеющий  целью сохранение и увеличение стоимости  денежных или других средств. Средства, предназначенные для инвестирования, представляют собой инвестиционный капитал. С течением времени тот  капитал может принимать различные  или конкретные формы. Инвестирование почти всегда подразумевает преобразование исходной формы капитала, например, денежной в другие: в здания, оборудование и т.п. Тот или иной конкретный вид инвестиционного капитала  называется инвестиционным активом. Денежный вклад в банке, ценные бумаги, драгоценные  металлы и камни, коллекции художественных ценностей, недвижимость, различные  виды интеллектуальной собственности  – все это примеры инвестиционных активов.

    Инвестиционный  процесс представляет собой принятием  инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляется инвестиции, объемов  и сроков инвестирования. Следующая процедура, включающая пять этапов, составляет основу инвестиционного  процесса:

1. Выбор инвестиционной политики.
2. Анализ рынка ценных бумаг.
3. Формирование портфеля ценных бумаг.
4. Пересмотра портфеля ценных бумаг.
5. Оценка эффективности портфеля ценных бумаг.

    Сущность  портфельного инвестирования подразумевает  распределение инвестиционного  потенциала между различными группами активов, т.к. невозможно найти ценную бумагу, которая была бы одновременно высокодоходной, высоконадежной и высоколиквидной. Каждая отдельная бумага может обладать максимум двумя из этих качеств. В  зависимости от того, какие цели и задачи изначально стоят при формировании того или иного портфеля, выбирается определенное процентное соотношение между различными типами активов, составляющими портфель инвестора. Грамотно учесть потребности инвестора и сформировать портфель активов, сочетающий в себе разумный риск и приемлемую доходность - вот основная задача менеджера любого финансового учреждения.

    Целью своей работы я ставлю знакомство с портфельной теорией на основе модели Марковица, вероятностной модели рынка, а также изучение понятия  диверсификации.

      Проблема формирования и управления инвестиционным портфелем стала перед инвесторами давно. Начало современной теории инвестиций можно определить достаточно точно. Это 1952 г., когда появилась статья Гарри Марковица под названием «Выбор портфеля». В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, и были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. Основной заслугой работы Марковица явилась предложенная теоретико-вероятностная формализация понятия доходности и риска. После написания своей первой статьи Марковиц постоянно занимался усовершенствованием и развитием этой модели. В 1959 г. Выходит первая монография, посвященная изложению предложенного подхода. В 1990 г., в год присуждения ему Нобелевской премии по экономике, выходит книга, подводящая итог почти сорокалетнему периоду работы по теории выбора инвестиционного портфеля.

    Первая  работа Марковица не привлекла особого  внимания, по крайней мере, со стороны  теоретиков-экономистов и практиков. Для 50-х гг. применение теории  вероятностей к финансовой теории было само по себе делом необычным. К тому же неразвитость вычислительной техники и сложность  предложенных Марковицем алгоритмов не позволили осуществить фактическую  реализацию его идей. В 1963 г. учеником Марковица Уильямом Шарпом была предложена так называемая однофакторная модель рынка капиталов, в которой впервые появились ставшие знаменитыми впоследствии «альфа» и «бета» характеристики акций. На основе однофакторной модели Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, которой сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. К 70-м гг. развитие вычислительной техники, а также совершенствование статистической техники оценивания показателей «альфа» и «бета» отдельных ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

    Сегодня модель Марковица используется в  основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении  инвестируемого капитала по различным  типам активов: акциям, облигациям, недвижимости и т.д. Однофакторная  модель Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестируемый  в определенный сегмент рынка  активов, распределяется между конкретными  активами, составляющими выбранный  сегмент (т.е. по конкретным акциям, облигациям и т.д.).

    Влияние «портфельной теории» Марковица  значительно усилилось после  появления в конце 50-х и начале 60-х гг. работ Джеймса Тобина по аналогичным темам. Следует отметить некоторые различия между подходами  Марковица и Тобина. Подход Марковица  лежит в русле микроэкономического  анализа, поскольку он акцентирует  внимание на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный, с его  точки зрения, портфель на основе собственной  оценки доходности и риска выбираемых активов. К тому же модель Марковица  касалась в основном портфеля акций, т.е. рисковых активов. Тобин также  предложил включить в анализ безрисковые  активы, например государственные облигации. Его подход является, по существу, макроэкономическим, поскольку основным объектом его  изучения является распределение совокупного  капитала в экономике по двум его  формам: наличной (денежной) и неналичной (в виде ценных бумаг).  

    В подходе Тобина основной темой становится анализ факторов, заставляющих инвесторов формировать портфели активов, а  не держать капитал  в какой-либо одной, например налично-денежной, форме. Кроме того, Тобин проанализировал  адекватность количественных характеристик  активов и портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковица. Возможно, поэтому Тобин получил  Нобелевскую премию на девять лет  раньше (1981 г.), чем Марковиц (1990 г.).

    К середине 60-х г. заканчивается первый этап развития современной теории инвестиций в том виде, который придали  ей Марковиц и Тобин. С 1964 г. Появляются три работы открывшие следующий  этап в инвестиционной теории, связанный  с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ (Capital Asset Price Model).

    САРМ  является самой значительной и влиятельной  современной финансовой теорией. Практические руководства по финансовому менеджменту  в части выбора стратегии долгосрочного  инвестирования и по сей день основываются исключительно на САРМ.

    В целом к 80-м гг. инвестиционная теория, синтезирующая портфельную теорию Марковица-Тобина и САРМ, получает широкое применение.

2. Модель  Марковица 
   

    Основная  идея модели Марковица заключается  в том, чтобы статистически рассматривать  будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную, т.е. доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых  пределах. Тогда, если неким образом  определить по каждому инвестиционному  объекту вполне определенные вероятности  наступления, можно получить распределение  вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы по альтернативам инвестирования распределены нормально.

    По  модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск, что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым  создать масштаб для оценки различных  комбинаций. В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов  на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

    Имеется некоторый рынок активов. Совокупность активов, орошающихся на рынке, обозначим  через А. Отдельный актив будем  обозначать строчной буквой а.

    Мы  можем перенумеровать активы:

    и вместо символа актива использовать его номер (индекс).

    Множество всевозможных состояний рынка мы обозначим через S, а отдельное состояние будем обозначать строчной буквой j или буквой с индексом

    Множество состояний может быть в принципе любым, в том числе и бес  конечным. Однако для упрощения изложения  мы будем считать его конечным.

    Каждому состоянию s припишем некоторую вероятность — неотрицательное число р(s). При этом будем считать выполнимым следующее условие:

    т. е. сумма вероятностей всех состояний  равна 1.

    На  языке теории вероятностей это означает, что пара <S, р>, состоящая из множества S и вероятностей меры p, образует дискретное вероятностное пространство. Мера p дает вероятности лишь отдельных (элементарных) состояний. Ее можно продолжить на произвольные множества состояний.

    Так, для любого можно определить:

    Смысл этого равенства заключается  в следующем. Для каждого подмножества состояний тот факт, что текущее  состояние рынка принадлежит  этому подмножеству, означает некоторое  «событие». Приведенная формула  определяет вероятность этого события  через вероятность «элементарных  событий», т. е. отдельных состояний. Заметим, что если A=Æ, т. е. событие А — «невозможное», то его вероятность равна 0. С другой стороны, «событие» S— или «достоверное» событие — обладает вероятностью 1.