Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

 

      рис. 9 График подбора

 

3) Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

     Модель  является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

     3.1. Проверим независимость (отсутствие  автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

      , используются данные табл. 9.

     Таблица 10

Расчетная таблица для применения  
d-критерия Дарбина-Уотсона

      

      Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d₁ (рис. 10). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

Рис. 10 Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона 

     3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]

       Количество поворотных точек равно 6 (рис.11).

Рис. 11 График остатков 

     Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

     3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:

      , где

      - максимальный уровень ряда  остатков,

        - минимальный уровень ряда  остатков,

           - среднеквадратическое отклонение,

      ,    

       

     Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. 

    4) Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

Y_p (t) = а₀ (t -1) + а1(t -1) * к, где к - количество шагов прогнозирования.

a1(t) = а1 (t -1) + а² * E(t),    E(t) = Y(t0 - Y_p(t),  

 а₀(t) = a0 (t -1) + а1 (t - 1) + (1 - β²) *E(t).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи

 метода  наименьших квадратов:

                                                                  Таблица 11

            Расчетная таблица для получения оценок параметров     

 
 
 
 
 
 
 
 
 

a1(0) =3,0;  a0(0) = 38,8 – 3,0 * 3 = 29,8.

При α = 0,4; k = 1; β =1 – 0,4 = 0,6.

Получим:  

Расчетная таблица для  построения модели Брауна с параметром

сглаживания α = 0,4

Таблица 12 

При α = 0,7;   k = 1,   β = 1 - 0,7 = 0,3 получаем:          

  Таблица 13

Расчетная таблица для  построения модели Брауна с параметром

сглаживания α = 0,4

               

 
 

Лучшее  значение параметра сглаживания α = 0,4, так как меньше Eотн

Eотн = 0,25/9• 100% = 3%  при α = 0,4

Eотн = 0,36/9• 100% = 4% при α = 0,7. 
 
 

    5) Оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7). 
 

      модель Брауна с параметром сглаживания α = 0,4

 
            а)

                 2 ( 9 – 2)                 16*9 - 29  

                 ──────   - 1,96√  ───────  =  2,45 = 2.

                       3                                   90

        Т.к.   6>2,   то   проверка  случайности   ряда  остатков   по критерию пиков  дает положительный результат.

           б) d1 = 1,08 ;  d2 = 1,36 ;

        60,70

d = ───── = 1,70.

        35,63

Т. к. 1,08<1,70, то с вероятностью 95% гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. 

     R     E max – E min                                35,63

в)  ─ = ────── ;   S v = √ ───── = 2,11.

     S          S v                                                     8 

 R     1,38+5,54

─ = ──────── = 3, 28.

 S         2,11

Т.к. 3,38  принадлежит      2, 7; 3, 7       гипотеза о нормальном распределении  ряда остатков верна.