Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ  ВПД

Всесоюзный  заочный финансово-экономический  институт

Филиал  г. Калуги. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

по  дисциплине  «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

 Вариант№ 10

         
 
 
 
 
 

Исполнитель:

Тангрвердиева Нармина Нури - Гзы

зачётная  книжка № 09 ММД 46090

Факультет: Менеджмента и маркетинга

III курс, ДЕНЬ.

Специальность: Менеджмент организации

Преподаватель:

Степович  Михаил Адольфович 
 
 
 

2011

Содержание

Задача 1………………………………………………………………………....3

Задача 2…………………………………………………………………………5

Задача 3………………………………………………………………………..13

Задача 4………………………………………………………………………..18

Литература…………………………………………………………………….31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 1.

Решить  графическим методом типовую  задачу оптимизации.

      Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

      Решение

      Введем  следующие обозначения:

      х₁ – количество первого напитка («Лимонад»)

      х₂ – количество второго напитка («Тоник»)

      Цена 1 л «Лимонада» таким образом составляет 0,1 х₁ (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х₂ (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f(х_1,х₂) = 0,1 х₁ + 0,3 х₂.

      Ограничения задачи имеют вид:   0,02х₁ + 0,04 х₂ 24;

      0,01х₁ + 0,04 х₂

16;

х_1,2

0.

      Построим  прямые, соответствующие ограничениям задачи: первая прямая имеет вид 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24, решением ее служат точки (1200;0)  
и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

      Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

рис. 1 Область  допустимых решений 

      На  рисунке 1 серым цветом обозначена область допустимых значений. Для определения движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся в направлении вектора-градиента.

      Решая систему уравнений

      0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24;

      0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16.

      Находим, что х₁ = 800, х₂ = 200.

      max f(х_1,х₂) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.) 

Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х₁ = 800, х₂ = 200). Если задачу решать на min, то f(min)= ∞, т.е. не имеет конечного оптимума, т.к. область допустимых значений не ограничена снизу.

 

       Задача 2.

Использовать  аппарат теории двойственности для  экономико-математического анализа  оптимального плана задачи линейного программирования. 

      Для изготовления трех видов продукции  используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице 1.

                                                              Таблица 1

  Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

      Решение

     1) Сформулировать прямую оптимизационную  задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

      Введем  условные обозначения:

      х₁ – норма расхода ресурсов на одно изделие I вида

      х₂ – норма расхода ресурсов на одно изделие II вида

      х₃ – норма расхода ресурсов на одно изделие III вида

      Целевая функция имеет вид:

      max f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃

      Ограничения задачи имеют вид:

      3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃ 2000

      20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 15000

      10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

      3 х₂ +5 х₃ 1500

      х_1,2,3 0

      Оптимальный план найдем через поиск решения в надстройках Microsoft Excel (рис. 2 и рис. 3)

рис. 2 Поиск  оптимального плана

рис.3 Поиск оптимального плана

      Полученное  решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из  
15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис.4)

 

рис. 4. Содержание отчета по результатам 

      В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х₁, х ₂, х ₃, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

      ( )* = (520;0;110) 

      2) Сформулировать двойственную задачу  и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

      Число переменных в двойственной задаче равно  числу функциональных ограничений  в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

      y₁ – двойственная оценка ресурса «Труд»

      y₂ – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

      y₃ – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

      y₄ – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

      Целевая функция двойственной задачи формулируется  на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

      min g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y_4. 

      Необходимо  найти такие «цены» на типы ресурсов (y_i), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

      Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

      В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции.

      Каждое  ограничение соответствует определенной норме использования ресурса  на единицу продукции: 

      3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ 6;

      6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ 10;

      4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ 9.

      Найдем  оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.