Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

      Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

       = 0, тогда

      y₁(3 х₁+ 6 х₂+4 х₃ – 2000) = 0;

      y₂(20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 15000) = 0;

      y₃(10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 7400) = 0;

      y₄(3 х₂ + 5 х₃ – 1500) = 0.

      ( )* = (520;0;110)

      Подставим оптимальные значения вектора  в полученное выражение

      y₁(3*520+ 6*0+4*110 – 2000) = 0;

      y₂(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

      y₃(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400) = 0;

      y₄(3 *0 + 5*110 – 1500) = 0.

      Отсюда  получим

      y₁(2 000- 2 000) = 0;

     y₂ (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y₂ = 0;

     y₃ (7400-7400) = 0;

     y₄ (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y₄ = 0.

      Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

       , если  >0, то

      В нашей задаче х₁=520 > 0 и х₃ = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

      х₁(3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ – 6) = 0;

      х₂(6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ -10) = 0;

      х₃ (4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ –9) = 0.

      Решая систему уравнений

      3*у₁ + 20*у₂+10у₃-6=0

      у₂ = 0

      4*у₁ + 20*у₂ + 20 у₃ + 5*у₄-9=0

      у₄ = 0,

      получим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0.

      Необходимо  проверить выполнение первой теоремы  двойственности

      g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

      f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃ = 6*520+9*110 = 4 110.

      Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

      Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5). 

рис. 5. Отчет  по устойчивости 

     3) Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

     Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора : ( )* = (1,5;0;0,15;0)

  3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ 6 3*1,5 + 20*0+10*0,15 6 6=6;

  6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ 10 6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*0 10 11,25>10;

  4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ 9 4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*0 9 9=9.

     Затраты на 2 вид продукции превышает цену (11,25>10). Это же видно  
и в отчете по устойчивости (рис. 5), значение х₂ (нормир. стоимость)  
равно -1,25. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу продукции больше, чем цена изделия. Эта продукция не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности.

     4) На основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

            2000 2000  7400 7400

            12600 15000  550 1500 

      Запасы  по первому и третьему виду ресурсов были использованы полностью, а по второму и четвертому виду недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно. 

• Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.

      Из  теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению f( ). Оно определяется:

       f( ) =

       =24  =24*1,5=36

      f(x)^*= 4110 + 36 = 4146 (ед.) 

      Из  расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единицы, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.

      При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились. 
 
 
 

      y₁ = 1,5 3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃ 2000 + 24

      у₂=0 20 х₁ + 15 х₂ +20 х₃ ≤15000

      y₃ = 0,15 10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

      y₄ = 0 0 х₁ + 3 х₂ + 5 х₃ 1500 

      Решим систему уравнений:

3 х₁ + 4 х₃ = 2024

10 х₁ + 20 х₃ = 7400, 

откуда х₁ = 544,

      х₃ = .

      Таким образом, новый оптимальный план ( ) = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед. 

• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

      8 y₁ + 4 y₂ + 20 y₃ + 6 y₄=11

      подставим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0

      8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

      12+3=11

      15=11, т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

 

     Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

    Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

    Требуется:

    1) Проверить продуктивность технологической  матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

    2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения  продукции предприятий холдинга.

    В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 2 выберите числовые значения для таблицы 3.

      Таблица 2

 

  Таблица 3 

 

     Решение:

     1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

     1.1. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (таблицы 4)

     Таблица 4