Двойственные оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов

Для определения наличия  или отсутствия автокорреляции применяется  критерий Дарбина-Уотсона:

 

.

 

Возможные значения критерия DW находятся в интервале от 0 до 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то DW»2.

Построение уравнения  степенной регрессии

Уравнение степенной агрессии имеет вид:

 

, где

 

a, b – параметры, которые  определяются по данным таблицы  наблюдений.

Таблица наблюдений составлена и имеет вид:

 

x	x1	x2	...	xn
y	y1	y2	...	yn

 

Прологарифмируем исходное уравнение и в результате получим:

 

ln y = ln a + b×ln x .

 

Обозначим ln y через , ln a как , а ln x как .

В результате подстановки  получим:

 

 

Данное уравнение  есть ничто иное, как уравнение линейной регрессии, параметры которого мы умеем находить.

Для этого прологарифмируем исходные данные:

 

ln x	ln x1	ln x2	...	ln xn
ln y	ln y1	ln y2	...	ln yn

 

Далее необходимо выполнить  известные нам вычислительные процедуры  по нахождению коэффициентов a и b, используя прологарифмированные исходные данные. В результате получим значение коэффициента b и . Параметр a можно найти по формуле:

 

.

 

В этих же целях можно  воспользоваться функцией EXP в Excel.

Двухфакторные и многофакторные уравнения регрессии

Линейное двухфакторное уравнение  регрессии имеет вид:

 

,

 

где - параметры;

 – экзогенные переменные;

y – эндогенная переменная.

Идентификацию этого  уравнения лучше всего производить  с использованием функции Excel ЛИНЕЙН.

Степенное двухфакторное  уравнение регрессии имеет вид:

 

 

где - параметры;

 – экзогенные переменные;

Y – эндогенная переменная.

Для нахождения параметров этого уравнения его необходимо прологарифмировать. В результате получим:

 

.

 

Идентификацию этого  уравнения также лучше всего  производить с использованием функции  Excel ЛИНЕЙН. Следует помнить, что мы получим не параметр a, а его логарифм, которое следует преобразовать в натуральное число.

Линейное многофакторное уравнения регрессии имеет вид:

 

 

где _n- параметры;

_n – экзогенные переменные;

y – эндогенная переменная.

Идентификацию этого  уравнения также лучше всего  производить с использованием функции  Excel ЛИНЕЙН.

Таким образом, объектом изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных  факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей проводится на основе статистических данных об изучаемом  объекте и с помощью методов  математической статистики.

Основными задачами эконометрики являются: получение наилучших оценок параметров экономико-математических моделей, конструируемых в прикладных целях; проверка теоретико-экономических  положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале; создание универсальных  и специальных методов для  обнаружения статистических закономерностей  в экономике.

Для установления статистической зависимости (уравнения регрессии) между изучаемым экономическим  показателем (объясняемой переменной) и влияющими на нее факторами (объясняющими переменными) проводится регрессионный анализ. Такой анализ предполагает идентификацию объясняющих  переменных, спецификацию формы искомой  связи между переменными, определение  и оценку конкретных числовых значений параметров уравнения регрессии.

Для выявления тесноты  связи между экономическими величинами в уравнении регрессии проводится корреляционный анализ. В ходе корреляционного  анализа изучается сила влияния  различных причин (последствия линейной регрессии и влияние неучтенных в модели факторов) вариации объясняемой  переменной.

 

ГЛАВА 3. Оптимизационные  методы математики в экономике

 

3.1 Оптимизационные модели

 

Понятие оптимизационных  задач и оптимизационных моделей.

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в  нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования  имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.

Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных  моделей (ОМ) методами математического  программирования.

Структура оптимизационной  модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и  системы ограничений, определяющими эту область. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь также состоит из трех элементов:

· управляемых переменных;

· неуправляемых переменных;

· формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений  – это область, в пределах которой  осуществляется выбор решений. В  экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые  записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Если система ограничений  несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения  подразделяются на:

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рис.3.1.);

 

Рис.3.1. Линейные и нелинейные ограничения

 

б) детерминированные (А,В) и стохастические (группы кривых ) (рис.3.2.).

 

X

2

X

1

B

A

C

i

Рис. 3.2. Детерминированные  и стохастические ограничения

 

Стохастические ограничения  являются возможными, вероятностные, случайными.

Оптимизационные задачи решаются методами математического  программирования, которые подразделяются на:

 линейное программирование;

 нелинейное программирование;

 динамическое программирование;

 целочисленное программирование;

 выпуклое программирование;

 исследование операций;

 геометрическое программирование  и др.

Главная задача математического  программирования – это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.

Рассмотрим оптимизационные  задачи, решаемые методами линейного  программирования.

Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными

Пусть:

- количество ресурса вида i (i=1,2,...,m);

- норма расхода i – го ресурса на единицу j – го вида продукции;

- количество продукции вида j (j=1,2,...,n);

- прибыль (доход) от единицы  этой продукции (в задачах на  минимум – себестоимость продукции).

Тогда оптимизационные  задачи линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом:

Найти переменные , при которых целевая функция

 

,

 

была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих  ограничений:

 

,

,

.

 

Вcе три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные:

 

,

 

k – количество дополнительных  переменных, и условие неотрицательности искомых переменных:

 

.

 

В результате решения  задачи находится некий план (программа) работы некоторого предприятия. Отсюда и появилось слово «программирование». Слово линейное указывает на линейный характер зависимости как в целевой функции, так и в системе ограничений. Следует еще раз подчеркнуть, что задача обязательно носит экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании максимума или минимума (экстремума) целевой функции.

Геометрическая интерпретация  оптимизационных задач линейного  программирования.

Пусть необходимо найти  оптимальный план производства двух видов продукции (x₁ и x₂), т.е. такой план, при котором целевая функция (общая прибыль) была бы максимальной, а имеющиеся ресурсы использовались бы наилучшим образом. Условия задачи приведены в таблице:

 

Вид продукции	Норма расхода ресурса на единицу продукции			Прибыль на единицу изделия
	А	В	С
1	2	0,1	3,5	4
2	1	0,5	1	5
Объем   ресурса	12	4	18

 

Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом:

а) целевая функция:

 

 

б) ограничения:

2х₁ + х₂ 12 (ограничение по ресурсу А);

0,1х₁ + 0,5х₂ 4 (ограничение по ресурсу B);

3,5х₁ + х₂ 18 (ограничение по ресурсу C).

в) условие неотрицательности переменных:

 

 

Данную и подобные оптимизационные модели можно продемонстрировать графически (Рис.3.3.).

Преобразуем нашу систему  ограничений, найдя в каждом из уравнений x₂ , и отложим их на графике. Любая точка на данном графике с координатами x₁ и x₂ представляет вариант искомого плана. Однако ограничение по ресурсу А сужает область допустимых решений. Ими могут быть все точки, ограниченные осями координат и прямой АА, т.к. не может быть израсходовано ресурса А больше, чем его на предприятии имеется. Если точки находятся на самой прямой, то ресурс используется полностью.

Аналогичные рассуждения  можно привести и для ресурсов В и С. В результате условиям задачи будет удовлетворять любая точка, лежащая в пределах заштрихованного многоугольника. Данный многоугольник называется областью допустимых решений.

 

Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация оптимизационной  задачи линейного программирования

 

Однако нам необходимо найти такую точку, в которой  достигался бы максимум целевой функции. Для этого построим произвольную прямую 4Х₁+5Х₂=20, как Х₂=4-4/5Х₁ (число 20 произвольное). Обозначим эту линию РР. В каждой точке этой линии прибыль одинакова. Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая удалена от начала координат в наибольшей мере, однако, не выходит за пределы области допустимых решений. Это точка М₀, которая лежит на вершине многоугольника. Координаты этой точки ( ) и будут искомым оптимальным планом.

Симплексный метод решения  оптимизационных задач линейного  программирования.

Симплексный метод – это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.

Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод.

Симплекс – это  выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной  гиперплоскости (гиперплоскость делит  пространство на два полупространства).

Например, линия бюджетных  ограничений делит блага на доступные и недоступные.

Доказано, что если оптимальное  решение существует, то оно обязательно  будет найдено через конечное число итераций (шагов), кроме случаев  «зацикливания».

Алгоритм симплексного метода состоит из ряда этапов.

Первый этап. Строится исходная оптимизационная модель. Далее исходная матрица условий преобразуется в приведенную каноническую форму, которая среди всех других канонических форм выделяется тем, что:

а) правые части условий (свободные члены b_i) являются величинами неотрицательными;

б) сами условия являются равенствами;

в) матрица условий  содержит полную единичную подматрицу.

Если свободные члены  отрицательные, то обе части неравенства  умножаются на -1, а знак неравенства  меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые, обычно, обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл.

Наконец, если после добавления дополнительных переменных, матрица  условий не содержит полную единичную  подматрицу, то вводятся искусственные  переменные, которые не имеют никакого экономического смысла. Они вводятся исключительно для того, чтобы  получить единичную подматрицу и  начать процесс решения задачи при  помощи симплексного метода.

В оптимальном решении  задачи все искусственные переменные (ИП) должны быть равными нулю. Для  этого вводят искусственные переменные в целевую функцию задачи с  большими отрицательными коэффициентами (-М) при решении задачи на max, и с большими положительными коэффициентами (+М), когда задача решается на min. В этом случае даже незначительное ненулевое значение искусственной переменной будет резко уменьшать (увеличивать) значение целевой функции. Обычно М в 1000 раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных.

Второй этап. Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю.

Третий этап. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется при помощи специальных оценок коэффициентов целевой функции. Если все оценки коэффициентов целевой функции отрицательны или равны нулю, то имеющееся базисное решение – оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции больше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено.