Двойственные оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов

Требуется, зная решение данной задачи, решить задачу, двойственную ей.

Сформулируем исходную ЗЛП:

 

Оптимальное решение данной задачи состоит в следующем (сам процесс  решения здесь опускаем):

,

Сформулируем двойственную задачу и решим ее, используя теоремы  двойственности:

Подставим , , и в ограничения исходной задачи:

 

Следовательно, используя вторую теорему  двойственности и первое свойство двойственных оценок, можем записать: .

Рассмотрим ограничения двойственной задачи. Каждое из них соответствует  одной из переменных исходной задачи. Поскольку  и , только второе и четвертое ограничения двойственной задачи обращаются в верное равенство при подстановке в них оптимального плана (такой вывод следует из соотношений (4)). Учитывая, что , можем записать систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

 

Решая систему, получим: , .

Полностью решение двойственной задачи запишется так:

 

Задание №2.

Совхоз для  кормления животных использует два  вида корма. В дневном рационе  животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Исходные данные приведены ниже.

 

Питательное вещество	Количество питательных веществ  в 1 кг корма
	1-й вид	2-й вид
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

 

Построить экономико-математическую модель задачи,  дать необходимые  комментарии к ее элементам и  получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

1) Построение экономико-математической  модели задачи

Введем  переменные : X₁- количество корма 1, X₂ - количество корма 2 (в кг).

Целевая функция в данном случае затраты на корма обоих видов. Требуется найти такое распределение  кормов обоих видов, чтобы суммарные  затраты на покупку кормов были минимальны. При этом значения переменных должны находиться в области допустимых решений.

Целевая функция задачи :

 f(x) = 0,2X₁ + 0,3Х₂

Найдём  минимум  целевой  функции.

Область допустимых решений (ОДР) задачи, согласно условию:

≥6

≥12

х_1,2≥0

2) Построим область допустимых  решений (ОДР) задачи.

Условия неотрицательности переменных означают, что область решений будет лежат в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные  ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми и осями координат :         

               2X₁  + Х₂ = 6

               2X₁ + 4Х₂ = 12

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой область АВС (заштрихованная область для всех ограничений задачи ОДР).

3) Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину с началом координат О (0, 0). Строим градиент функции - вектор, показывающий направление возрастания функции f(x).

С=grad(f)= (δf/δx₁; δf/δx₂) = ( 0,2; 0,3)

4) Построим некоторую линию уровня .

Пусть, например, а = 0. На эскизе такой линии  уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектор-градиенту.

0,2 X₁+ 0,3 X₂ = 0

5) При максимизации целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектор - градиента, а при минимизации - в противоположном направлении. Предельной точкой при таком движении линии уровня ОХ является точка В - крайняя точка (вершина) ОДР (по - другому называемой многоугольником планов). Далее она (линия уровня) уже не пересекает единственную точку ОДР (так как область неограниченна сверху).

6) Определим  координаты точки В, являющейся точкой пересечения граничных прямых, решив систему уравнений:

                                      2*X₁+ Х₂=6

                                      2*X₁ + 4*Х₂ = 12

Точка 0( 0; 0 ) - точка начала координат.

Получаем точку В (2; 2) - вершину многоугольника (сектора) планов.

7) Точка В является так называемым оптимальным планом. В точке В целевая функция принимает свое минимальное значение при заданной системе ограничений. Эта точка отвечает минимально возможным затратам на корма при заданной ОДР. При заданной ОДР отсутствует точка максимума для целевой функции Смысл данного факта: затраты на корма при данной ОДР никак не ограничиваются (хотя в реальных случаях такая ситуация невозможна). Таким образом, целевая функция в задаче линейного программирования принимает, при заданной системе ограничений :

минимальное значение-min(f)=f(В)=0,2*2 + 0,3 *2 = 1. (тыс. руб).

максимальное значение - отсутствует (функция неограниченна сверху на ОДР). С помощью надстройки ЕХСЕL «Поиск решения" минимум целевой функции, также как и при использовании графического метода. Максимум найти не удается (сообщается, что результат не сходится); в таблице помещено только одно из возможных значений.

Ответ: максимального значения - нет (ОДР неограничен сверху);

min( x) = (2; 2); min(f)= 1 (тысяч денежных единиц).

 

 

Графическое решение

B(min) 

 

 

 

 

C - градиент ЦФ ОПР

 

2X₁+X₂ = 6

0,2 X₁ +0,3 X₂ = 0

2X₁+4X₂=1

 

Задание 3.

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице:

 

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	43	47	50	48	54	57	61	59	65

 

Требуется: 

1) Проверить  наличие аномальных наблюдений. 

2) Построить  линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3)Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить  точность модели на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.

5)По двум построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6)Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1). Наличие  аномальных наблюдений приводит  к искажению результатов моделирования,  поэтому необходимо убедиться  в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом  Ирвина и найдем характеристическое  число ( ) (таблица 4.1).

  ;     ,    

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

Таблица 4.1

	t	Y
	1	43	-4	16	-10,78	116,16	-	-
	2	47	-3	9	-6,78	45,94	4	0,08
	3	50	-2	4	-3,78	14,27	3	0,06
	4	48	-1	1	-5,78	33,38	2	0,04
	5	54	0	0	0,22	0,05	6	0,11
	6	57	1	1	3,22	10,38	3	0,06
	7	61	2	4	7,22	52,16	4	0,08
	8	59	3	9	5,22	27,27	2	0,04
	9	65	4	16	11,22	125,94	6	0,11
Сумма	45	484	0	60	0,00	425,56
Среднее	5	53,78

 

   

Все полученные значения сравнили с  табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.

 

2) Построить  линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого  воспользуемся Анализом данных в  Excel (рис. 4.2).

Рис. 4.2

 

 

Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.3 и 4.4.

Таблица 4.3

 

		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	а0	40,86	1,38	29,68
t	а1	2,58	0,24	10,56

 

Во втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости  (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).

 

Таблица 4.4

Вывод остатков

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	43,44	-0,44
2	46,03	0,97
3	48,61	1,39
4	51,19	-3,19
5	53,78	0,22
6	56,36	0,64
7	58,94	2,06
8	61,53	-2,53
9	64,11	0,89

 

Рис. 4.5