Автор: Пользователь скрыл имя, 10 Декабря 2010 в 16:28, курсовая работа
примеры с расчетами
Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.
Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.
Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.
Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.
Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:
выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;
информационную базу данных объекта;
выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;
выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения - целевой функции.
Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные.
Суммарные затраты:
f(x) = 7ґ30+8ґ40+6ґ18+10ґ2+12ґ5+10ґ13
U1=0 Ю V5= 7; U2=0 Ю V4=8=U3+12 Ю U3=-4 Ю
V1= 6-4=2, V2=10-4=+6=U4+10; V3= -4+8= +4
8 1 10 0 0
(dij) = 10 2 6 0 8
0 0 2 0 3
10 0 0 0
5
Матрица
оценок (dij) не содержат отрицательных
величин Ю данный план является
оптимальным, т.к. С34 = 0, а клетка (3,4) не
является запятой, то данный план не является
единственным. Стоимость перевозок по
этому плану, как было рассчитано ранее,
равна f(x)
= 1104.
3.6.
Симплекс-метод решения задач линейного
программирования.
Симплекс-метод
позволяет отказаться от метода перебора
при решении задач линейной оптимизации,
является основным численным методом
решения задач линейного программирования
и позволяет за меньшее число шагов, чем
в методе перебора, получить решение.
Реализация
алгоритма симплекс-метода.
В заключение отметим, что определение оптимального решения распадается на два этапа:
IV. Методы нелинейного программирования.
4.1. Основные понятия, постановка и методы
решения задачи нелинейного программирования.
Нелинейное программирование (планирование) - математические методы отыскания максимума или минимума функции при наличии ограничений виде неравенств или уравнений. Максимизируя (минимизируя) функция представляет собой принятый критерий эффективности решения задачи, соответствующий поставленной цели. Он носит название целевой функции. Ограничение характеризует имеющиеся возможности решения задачи.
Целевая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейное (т.е. на графиках изображается не прямыми-кривыми-линиями) существо решения задач нелинейного программирования заключается в том, чтобы найти условия, обращающие целевую функцию в минимум или максимум. Решение, удовлетворяющее условию задачи и соответствующее намеченной цели, называется оптимальным планом. Нелинейное программирование служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных ресурсов в целях решения поставленной задачи. В общем виде постановка задачи нелинейного программирования сводится к следующему. Условия задачи представляются с помощью системы нелинейных уравнений или неравенств, выражающих ограничение, налагаемое на использование имеющихся ресурсов.
Z1(X1, X2,...,Xn) і 0;
Z2(X1, X2,...,Xn) і 0;
..........................
Zm(X1, X2,...,Xn) і 0;
при Xi і 0,
где Z1, Z2,…,Zm - соответствующие функции, характеризующие условие решения поставленной задачи (ограничения); Хi - искомые величины, содержащие решение задачи.
Целевая функция задается в виде:
y = f (X1, X2,…, Xn).
Причем по крайней мере одна из функций y, Z1, Z2,…, Zm - нелинейная.
Методами нелинейного программирования решаются задачи распределения неоднородных ресурсов.
Пусть имеется m разнородных ресурсов, которые предполагается реализовать для бизнеса в n регионах страны.
Известны оценочные возможности (вероятности) начать бизнес в j-м регионе (Pj), а также эффективности использования i-го ресурса в n-м регионе (wij).
Распределение ресурсов по регионам характеризуется так называемым параметром управления (hij):
hij = 0, если i-й ресурс не направляется в j-й регион,
1, если i-й ресурс направляется в j-й регион.
Необходимо
распределить ресурсы по регионам таким
образом (выбирать такие значения hij), чтобы
величина полной вероятности достижения
цели Рц была максимальной:
Рц
= е
Pj [1
- P
(1-hijwij]
= max.
Должно выполняться также ограничение
S hij = 1, i = 1, 2,…m
Ограничение
означает, что каждый из m ресурсов обязательно
должен назначаться в какой-либо из регионов.
Динамическое программирование (планирование)
Динамическое программирование (планирование) служит для выбора наилучшего плана выполнения многоэтапных действий. Для многоэтапных действий характерно протекание во времени. Кроме действий, естественно носящих многоэтапный характер (например, перспективное планирование), в ряде задач прибегают к искусственному расчленению на этапы, с тем, чтобы сделать возможным применение метода динамического программирования.
В общем виде постановка задачи динамического программирования сводится к следующему:
Имеется
некоторая управляемая операция (целенаправленное
действие), распадающаяся (естественно
или искусственно) на m шагов - этапов. На
каждом шаге осуществляется распределение
и перераспределение участвующих в операции
с целью улучшения ее результата в целом.
Эти распределения в динамическом программировании
называются управлениями операцией и
обозначаются буквой U. Эффективность
операции в целом оценивается тем же показателем,
что и эффективность ее управления W (U).
При этом эффективность управления W(U) зависит от всей совокупности управлений на каждом шаге операции:
W = W(U) = W(U1, U2, ..., Um).
Управление, при котором показатель W достигает максимума, называется оптимальным управлением. Оптимальное управление обозначается буквой U.
Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:
U = (U1, U2, ..., Um).
Задача динамического программирования - определить оптимальное управление на каждом шаге Ui (i = 1, 2, …, m) и, тем самым, оптимальное управление всей операцией в целом.
В большинстве практических задач принимается, что показатель эффективности операции W в целом представляет собой сумму эффективности действий на всех этапах (шагах) операции:
W = е wi,
где wi - эффективность операции на i-м шаге.
При этом в случае оптимального управления
W = max еwi
Существо решения динамического программирования заключается в следующем:
Имея для всех шагов после него условное оптимальное управление, мы знаем ,что необходимо делать на каждом последующем шаге. Это дает нам возможность последовательно переходить от условных к оптимальным управлениям дл всех последующих шагов, что обеспечивает оптимальность операции в целом.
Пусть имеется m типов различных грузов, которыми необходимо загрузить транспортное средство таким образом, чтобы общая ценность груза W была максимальной. Ценность груза является функцией отгрузоподъемности транспортного средства:
W = f (G)
Известны массы грузов i-го типа Рi и их стоимости Ci.
Необходимо загрузить транспортное средство таким образом, чтобы общая ценность груза была максимальной:
W = fm(G) = max е xiCi,
где xi - число предметов груза i-го типа, загружаемых в транспортное средство; xi выступает здесь в качестве управления (Ui=xi)
Ограничивающими условиями являются:
е xi Pi Ј G
xi
= 0, 1, 2...
Первое условие требует, чтобы общая масса груза не превышала грузоподъемности транспортного средства, а второе - чтобы предметы, составляющие груз различных типов, были неделимы.
Понятие критерия оптимальности
Формулировка критериев экономических систем является необходимой предпосылкой оптимизации плановых решений. В общем случае под критерием оптимальности понимается признак, на основании которого производится оценка, сравнение альтернатив, классификация объектов и явлений. Критерий оптимальности функционирования экономической системы - это один из возможных критериев (признаков) ее качества, а именно тот признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов ее функционирования. В сфере принятия экономических решений критерий оптимальности - это показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений выбора наилучшего из них. Наиболее часто используется максимум прибыли или минимум затрат.
Критерий оптимальности обычно носит количественный характер и показывает, насколько один из вариантов лучше ли хуже другого. Порядковый критерий определяет лишь то, что один вариант лучше или хуже другого. Математической формой критерия оптимальности в экономико-математических моделях является целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно допустимую эффективность деятельности моделируемого объекта.