Анализ расходов

    Введение 

    Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

    Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

    Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.

    Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

    Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:

1. выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;
2. информационную базу данных объекта;
3. выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;
4. выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения - целевой функции.

          Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные. 
 
 
 
 
 

 
 
 

    II. Основные понятия моделирования.

        2.1.   Общие понятия и определение модели. 

    Содержанием  любой экономико-математической  модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

    По содержанию различают экономико-математические и  экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

    Система ограничений  состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

    Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция - функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

    Критерии оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии  оптимальности и различные целевые функции.

    Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

    Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

    Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.

    Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

    Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

    Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям. 
 
 
 

    2.2. Постановка задач оптимизации 

    В общем  виде задача оптимизации, или задача определения экстремума, ставится следующим образом.

    Пусть заданы:

    функция f(X), определенная на множестве O Н R^N ;

    множество D Н R^N.

    Найти точку Y = (y₁,  y₂,..., y_N) О D, в которой функция f (X) достигает экстремального (минимального или максимального) значения, т.е.

    f(X) = extr f(X)  и  Y О D.

    Функция f(X) называется целевой функцией, переменные X - управляемыми переменными, D - допустимым множеством и любой набор значений Y управляемых переменных, принадлежащий D (Y О D), - допустимым решением задачи оптимизации.

    Понятно, что искомая точка Y, в которой f(X) достигает своего экстремума, должна принадлежать пересечению области определения O функции f(X) и допустимого множества D (YО O З D). Если множества O и D совпадают со всем пространством  R^N (O = D = R^N), то такая задача называется задачей на безусловный экстремум. Если хотя бы одно из множеств O или D является собственным подмножеством пространства R^N (O М  R^N , D М R^N) или множества  O и D пересекаются (O З D № Ж), то такая задача называется задачей на условный экстремум,  в противном случае (O З D = Ж) точка экстремума Y  не существует. Подчеркнем один частный случай: если множества O и D пересекаются в одной точке Y, то эта точка Y является единственным допустимым решением.

    Обычно в задаче условного экстремума задается не само допустимое множество решений D, а система соотношений, его определяющая,

    y_j (x_1, х _2, х _N) Ј (=, і) 0, j = 1, 2, … М,

    т.е.

    D = {X: yj (X) Ј (=, і) 0, j = 1, 2, ... , M} Н R^N,

или множество D  может  одновременно задаваться как в явном виде, т.е. допустимое решение Х должно принадлежать некоторой области  P М R^N,  так и системой ограничений. 
 

    III.  Методы линейного программирования.

         3.1. Общая и типовая задача в линейном программировании. 

    Оптимизационная задача - это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

    В самом общем виде задача математически записывается так:

    U = f(X) ® max; X О W, 

    Где X = (Х1, Х2,…, Хn);

    W - область допустимых значений переменных Х1, Х2,…, Хn;

    f(X) - целевая функция.

    Для того, чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать X() О W такое, что f(X()) і f(X), при любом X О W, или для случая минимизации - что f(X()) ≤  f(X), при любом X О W.

    Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

    Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения  называют методами математического программирования.

    В математическом программировании принято выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:

• задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;
• задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности переменных Х1, Х2,…, Хn;
• задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер.

 

    Задачи линейного программирования.

    Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

    f(X) = е СjXj ® max(min);

    е aij xj = bi,  iОI,  IНM = {1, 2,…m};