Автор: Пользователь скрыл имя, 10 Декабря 2010 в 16:28, курсовая работа
примеры с расчетами
Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.
Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.
Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.
Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.
Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:
выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;
информационную базу данных объекта;
выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;
выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения - целевой функции.
Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные.
е aij xj Ј bi, iОM;
Xjі0, jОJ, JНN = {1, 2,…n}.
При этом система линейных уравнений и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или критерием оптимальности.
Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.
Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
1) если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
2) если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
3) если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
4) если некоторая переменная Хk не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными::
Xk
= X`k - Xl, где l - свободный индекс,
X`k і
0, Xk і
0.
3.2.
Постановка задачи линейного программирования
Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), но n потребителям этих ресурсов.
На автомобильном транспорте часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:
Транспортным задачам присущи следующие особенности:
Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом.
3.3.
Решение транспортной задачи
| Мощности
постав- щиков 140 |
Мощности потребителей | U i | ||||
| 18 | 15 | 32 | 45 | 30 | ||
| 30 | 10 | 7/15 | 14 | 8/5 | 7/10 | 0 |
| 40 | 12 | 8 | 10 | 8/40 | 15 | 0 |
| 25 | 6/18 | 10 | 10 | 12 | 14/7 | -7 |
| 45 | 16 | 10 | 8/32 | 12 | 16/13 | -9 |
| Vj | -1 | 7 | -1 | 8 | 7 | |
Начальное распределение выберем по методу наименьших стоимостей. Порядок заполнения клеток: (3,1), (1,2), (4,3). (2,4), (1,5), (1,4), (3,5), (4,5)
Суммарные затраты:
f(x) = 6ґ18+7ґ15+8ґ32+8ґ5+8ґ40+7ґ10+
Рассмотрим процесс нахождения потенциалов для данного распределения.
Положим, Ui=0 Ю V2=U1+C12=7; V5=U1+C15=7=U3+14=U4+16 Ю U3= -7, U4= -9; V3=U4+C43= -1; V4=U2+8=U1+8 Ю U2=U1=0; V4=8.
Найдем
оценки: dij=(Ui+cij)-Vj:
11 0 15 0 0
(dij) = 13 1 11 0 8
0 -4 4 -3 0
8 -6 0 -5 0
Данный план не является оптимальным, т.к. есть отрицательные оценки.
Построим
контур перераспределения для клетки
(4,2). Наименьшая поставка в вершине контура
со знаком “-” равна 13, поэтому проведем
перераспределение поставок, уменьшив
поставки в клетках со знаком “-” на 13
и увеличив поставки в клетках со знаком
“+” на 13. результаты поставлены в таблице
2.
| Мощности
постав- щиков 140 |
Мощности потребителей | U i | ||||
| 18 | 15 | 32 | 45 | 30 | ||
| 30 | 10 | 7/2 | 14 | 8/5 | 7/23 | 0 |
| 40 | 12 | 8 | 10 | 8/40 | 15 | 0 |
| 25 | 6/18 | 10 | 10 | 12 | 14/7 | -7 |
| 45 | 16 | 10/13 | 8/32 | 12 | 16 | -3 |
| Vj | -1 | 7 | 5 | 8 | 7 | |
Суммарные затраты:
f(x) = 6ґ18+7ґ2+10ґ13+8ґ32+8ґ5+8ґ40+
Положим U1=0
V2 = U1+C12=7=U4+10 Ю U4 = -3
V3 = U4+8=5; V4=U1+8=8=U2+8 Ю U2=0
V5 = U1+7= 7 = U3+14 Ю U3= -7
V1 = U3+6= -1
dij = (Ui+Cij)-Vj
9 0 9 0 0
(dij) = 11 1 5 0 8
0 -3 -2 -3 0
14 0 0 1
6
Наличие отрицательных оценок свидетельствует о том, что план не является оптимальным. Построим контур перераспределения для клетки (3,2). Наименьшая поставка в вершине контура со знаком “-” равна 2. Произведем перераспределение поставок. Результаты представим в таблице 3.
| Мощности
постав- щиков 140 |
Мощности потребителей | U i | ||||
| 18 | 15 | 32 | 45 | 30 | ||
| 30 | 10 | 7 | 14 | 8/5 | 7/25 | 0 |
| 40 | 12 | 8 | 10 | 8/40 | 15 | 0 |
| 25 | 6/18 | 10/2 | 10 | 12 | 14/5 | -7 |
| 45 | 16 | 10/13 | 8/32 | 12 | 16 | -7 |
| Vj | -1 | 7 | 5 | 8 | 7 | |
Суммарные затраты:
f(x) = 6ґ18+10ґ2+10ґ13+8ґ32+8ґ5+8ґ40+
Положим, U1=0 Ю V4=8, V5=7; V4=U2+8 Ю U2=0
V5 = U3+14 Ю U3= 7-14= -7; V1= -7+6= -1; V2= -7+10= +3
V2=U4+10 Ю U4=3-10= -7; v3= -7+8=1
9 4 13 0 0
(dij) = 13 5 9 0 8
2 0 2 -3 0
10 0 0 -3 2
Наличие отрицательных оценок свидетельствует о том, что план не является оптимальным. Построим контур перераспределения для клетки (3,4).
Наименьшая поставка в клетке со знаком “-” равна 5. Произведем перераспределение поставок результаты представим в таблице 4.
| Мощности
постав- щиков 140 |
Мощности потребителей | U i | ||||
| 18 | 15 | 32 | 45 | 30 | ||
| 30 | 10 | 7 | 14 | 8 | 7/30 | 0 |
| 40 | 12 | 8 | 10 | 8/40 | 15 | 0 |
| 25 | 6/18 | 10/2 | 10 | 12/5 | 14 | -4 |
| 45 | 16 | 10/13 | 8/32 | 12 | 16 | -4 |
| Vj | 2 | +6 | 4 | 8 | 7 | |