Надёжность и достоверность

    После обратного преобразования Лапласа  система примет вид: 

      

    Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: 

    P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)  

    Для заданных значений t = 4 ч, l = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 14.53451·10^-6. 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы представлена на графике: 

      
 

      Из  полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает. 
 
 
 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графиках: 

      λ = 0.6 

        
 

      λ = 0.8 

        
 
 
 
 
 
 

      λ = 1.0 

        
 

      Как видно из графиков, увеличение интенсивности  отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы. 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках: 

      μ = 0.0005 

        
 
 

      μ = 0.05 

        
 
 
 
 

      μ = 5 

        
 

      Как видно из графиков, увеличение интенсивности  восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы. 
 
 

Среднее время безотказной  работы 

    Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

    

    Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 1.009 ч. 

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для μ = 0.05 приведена в таблице: 

 

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8 приведена в таблице: 

 
 

Коэффициент готовности  

    Нахождение  коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко. 

Нахождение  Кг методом дифференциальных уравнений 

    Для графа состояний рассматриваемой  системы система дифференциальных уравнений имеет вид: 

    

    Нормировочное условие:            

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

    P₀(0)=1

    P₁(0)=0

    P₂(0)=0

    P₃(0)=0

    P₄(0)=0 
 

    Если  предположить, что потоки стационарны, то есть  и , = const, то можно получить следующую систему: 

      

    Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую  систему уравнений: 

      

    Система дифференциальных уравнений в матричном  виде будет  иметь вид: 

      

    Отсюда  имеем:

      
 
 

    Решением  системы будет: 

      
 

    Для заданных значений = 0.8 1/ч и m = 0.05  1/ч коэффициент готовности К_г принимает следующее значение: 

    К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.02469 
 

Нахождение  Кг методом Половко 

      
 

    К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.02469 

    Значения  К_г, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения. 
 
 
 
 
 
 

    Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов основных элементов l приведена на графике: 

      
 
 

      Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления m приведена на графике: 

      
 
 

Средняя наработка на отказ 

      

    Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.02469 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение: 

      

    Зависимость среднего времени наработки на отказ  от интенсивности отказов представлена на графике: 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

      

Среднее время восстановления системы 

    

    Для заданного значения интенсивности  восстановления m = 0.05

    Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике: 

    

Вероятность успешного использования  системы 

      R(t)=К_г*P_сист 

      Для заданных значений К_г = 0.02469 и Р_сист = 14.53451·10^-6  R(t) = 3.34185·10^-6. 

      Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике: 

      
 

    Зависимость вероятности успешного использования  системы от интенсивности отказов  λ при m = 0.05 приведена на графиках: 

    l = 0.6 

    

    l = 0.8 

      
 

    l = 1.0 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 

    Зависимость вероятности успешного использования  системы от интенсивности восстановления m при l = 0.8 приведена на графиках: 

    m = 0.0005 

      
 
 
 
 

    m = 0.05 

      
 
 
 

    m = 5 

      
 

2.3.4. Выводы 

34. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
35. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
36. Вероятность безотказной работы системы P_сист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
37. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 14.53451·10^-6.
38. Среднее время безотказной работы системы m_t увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
39. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы m_t составляет 1.009 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 14.53451·10^-6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
40. Коэффициент готовности системы К_г увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
41. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы К_г =  0.02469.
42. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
43. Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.02469 среднее время наработки на отказ .
44. Среднее время восстановления   системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
45. Для заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05 среднее время восстановления   системы .
46. Вероятность успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
47. Для заданных значений К_г = 0.02469 и Р_сист = 0.00014 вероятность успешного использования системы R(t) = 3.34185·10^-6.

2.4. Сравнение характеристик  восстанавливаемых  резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте

 

    Сопоставление систем удобно провести с помощью  сравнительной таблицы.  

    Точные  характеристики надежности систем для  заданных значений t = 4 ч, λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч приведены в таблице: 
 

 
 

Выводы 

      Лучшими показателями надежности из рассмотренных  систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система  с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Однако для системы, все резервные элементы которой нагружены, меньшее время занимает переключение с отказавшего элемента на резервный, что при данных расчетах не учитывалось.