Надёжность и достоверность

    Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

    

    Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 0,799ч. 

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для μ = 0.05 приведена в таблице: 

 

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8 приведена в таблице: 

 
 

Коэффициент готовности  

    Нахождение  коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко. 

Нахождение  Кг методом дифференциальных уравнений 

    Для графа состояний рассматриваемой  системы система дифференциальных уравнений имеет вид: 

    

    Нормировочное условие:            

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

    P₀(0)=1

    P₁(0)=0

    P₂(0)=0

    P₃(0)=0

    P₄(0)=0 

    Если  предположить, что потоки стационарны, то есть  и , = const, то можно получить следующую систему: 

      

    Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую  систему уравнений: 

      

    Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

      

    Отсюда  имеем:

      
 
 
 
 

    Решением  системы будет: 

      
 

    Для заданных значений = 0.8 1/ч и = 0.05  1/ч коэффициент готовности К_г принимает следующее значение: 

    К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01247 
 

Нахождение  Кг методом Половко

    

 
 

    К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01247 

    Значения  Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения. 
 
 
 
 
 

    Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов l приведена на графике: 

      
 

      Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления m приведена на графике: 

      
 
 
 
 
 

Средняя наработка на отказ 

      

    Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.01247 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение: 

      

    Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике: 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

      
 

Среднее время восстановления системы 

    

    Для заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05

    Зависимость среднего времени восстановления системы  от интенсивности восстановления приведена  на графике: 

    

Вероятность успешного использования  системы 

      R(t)=К_г*P_сист 

      Для заданных значений Кг = 0.01247 и Р_сист = 8.46065·10^-6 R(t) = 0.10550·10^-6. 

      Зависимость вероятности успешного использования  системы от времени представлена на графике: 

      
 

    Зависимость вероятности успешного использования  системы от интенсивности отказов λ при m = 0.05 приведена на графиках: 

    l = 0.6 

    

    l = 0.8 

      
 

    l = 1.0 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 

    Зависимость вероятности успешного использования  системы от интенсивности восстановления m при l = 0.8 приведена на графиках: 

    m = 0.0005 

      
 
 

    m = 0.05 

      
 
 
 
 
 

    m = 5 

      
 

2.1.4. Выводы 

6. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
7. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
8. Вероятность безотказной работы системы P_сист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
9. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 8.46065·10^-6.
10. Среднее время безотказной работы системы m_t увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
11. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы m_t составляет 0.799 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 8.46065·10^-6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
12. Коэффициент готовности системы К_г увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
13. Для заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы К_г =  0.01247.
14. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
15. Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.01247 среднее время наработки на отказ .
16. Среднее время восстановления   системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
17. Для заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05 среднее время восстановления   системы .
18. Вероятность успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
19. Для заданных значений К_г = 0.01247 и Р_сист = 8.46065·10^-6 вероятность успешного использования системы R(t) = 0.10550·10^-6.

2.2. Система с частично нагруженным резервом

2.2.1. Расчетно-логическая схема

 

      

2.2.2. Граф состояний системы

 

      В качестве состояния системы выберем  количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид: 

      

 

    Рабочими  для системы являются состояния  с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.2.3. Расчет основных характеристик системы

 

      Для определения вероятности безотказной  работы системы составим систему  дифференциальных уравнений, соответствующую  графу состояний, запретив переход  из отказового состояния 4 предотказовое  состояние 3. 

      

    Нормировочное условие:            

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

                               P₀(0)=1

                               P₁(0)=0

                               P₂(0)=0

                               P₃(0)=0

                               P₄(0)=0 

    При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид: 

      

    Система дифференциальных уравнений в матричном  виде будет иметь вид:

      

    Отсюда  имеем:

      

    Таким образом: 

      
 

Вероятность безотказной работы системы 

    Для определения вероятности безотказной  работы необходимо применить к системе  обратное преобразование Лапласа и  подставить заданные значения для интенсивности  отказов нагруженных элементов λ, интенсивности отказов резервных элементов λ₀, интенсивности восстановления μ и времени работы t. 

    После обратного преобразования Лапласа  система примет вид: 

      

    Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: 

    P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)  

    Для заданных значений t = 4 ч, l = 0.8 1/ч, l₀ = 0.4 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 0.26429·10^-6. 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы представлена на графике: 

      
 

      Из  полученного графика видно, что  с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии  падает. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графиках: 

      λ = 0.6 

        
 

      λ = 0.8 

        
 
 
 
 
 
 

      λ = 1.0 

        
 

      Как видно из графиков, увеличение интенсивности  отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы. 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа резервных элементов λ₀ представлена на графиках: 

      λ₀ = 0.2 

        
 

      λ₀ = 0.4 

        
 
 

      λ₀ = 0.6 

        
 

      Как видно из графиков, увеличение интенсивности  отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.