Система с ненагруженным резервом

1.2.1. Расчетно-логическая  схема системы

 
 

 
 
 

    Считается, что для работы системы необходим  один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы  и при наличии элемента, находящегося в холодном резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

 

      
 

    Рабочими  для системы являются состояния  с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3. Расчет основных характеристик системы

 

    Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид: 

      

    Нормировочное условие:            
 

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

                               P₀(0)=1

                               P₁(0)=0

                               P₂(0)=0

                               P₃(0)=0 

    При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого  преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид: 

      

    Из  этой системы получим Р_i(t): 

      

    После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид: 

      

Вероятность безотказной работы системы 

    Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: 

    P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)  

    Для заданных значений   t = 4 ч и = 0.8 1/ч P_сист = 0.380. 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на графике: 

      
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от интенсивности отказа элементов λ представлена на графике: 

      
 
 
 

Среднее время безотказной  работы 

    Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

    

    Для заданного значения λ=0.8 1/ч и λ₀=0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 3.750ч. 

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ приведена на графике: 

      

1.3.4. Выводы

 

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
3. При увеличении интенсивности отказов элементов l вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
4. Для заданных значений интенсивности отказов λ = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.380.
5. Для заданного значения интенсивности отказов λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 3.750 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.380 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

1.4. Сравнение характеристик  невосстанавливаемых  резервированных  систем с целой  кратностью

 

    Сопоставление систем удобно провести с помощью  сравнительных графиков.  

    Зависимость вероятностей безотказной работы от времени работы для разных типов  систем представлена на графике: 

      
 
 

    Зависимость вероятностей безотказной работы от интенсивности отказа элементов λ для разных типов систем представлена на графике: 

      

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для разных типов систем приведена на графике: 

      
 

    Точные  характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч, λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч приведены в таблице: 

 
 

Выводы 

    Лучшими показателями надежности из рассмотренных  систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Также необходимо отметить, что при интенсивности отказов резервных элементов λ меньше интенсивности отказов резервных элементов λ₀ = 0.4 1/ч система с нагруженным резервом превосходит систему с частично нагруженным резервом по показателям надежности. 
 
 
 
 
 

2. Восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью при ограниченном ремонте

2.1. Система с нагруженным резервом

2.1.1. Расчетно-логическая схема

 

        
 

    Считается, что для  работы системы необходимо пять работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии  элемента, находящегося в горячем  резерве, этот элемент переводится  в рабочее состояние.

2.1.2. Граф состояний системы

 

      В качестве состояния системы выберем  количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид: 

      

 

    Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.1.3. Расчет основных характеристик системы

 

      Для определения вероятности безотказной  работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

      

    Нормировочное условие:            

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

                               P₀(0)=1

                               P₁(0)=0

                               P₂(0)=0

                               P₃(0)=0

                               P₄(0)=0 

    При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого  преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

        

      Система дифференциальных уравнений в матричном  виде будет иметь вид:

        

      Отсюда  имеем:

        

      Таким образом:

      

      

        

        

      

Вероятность безотказной работы системы 

      Для определения вероятности безотказной  работы необходимо применить к системе  обратное преобразование Лапласа и  подставить заданные значения для интенсивности отказов λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t. 

      После обратного преобразования Лапласа  система примет вид: 

      

      

      

      

        

    Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: 

    P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)  

    Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 8.46065·10^-6. 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы представлена на графике: 

      
 

      Из  полученного графика видно, что  с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии  падает. 
 
 
 
 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на графиках: 

      λ = 0.6 

        
 

      λ = 0.8 

        
 
 
 
 
 
 

      λ = 1.0 

        
 

      Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы. 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках: 

      μ = 0.0005 

        
 
 

      μ = 0.05 

        
 

      μ = 5 

        
 

      Как видно из графиков, увеличение интенсивности  восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы. 
 
 
 
 
 

Среднее время безотказной  работы