Московский  государственный технический университет им. Н.Э.Баумана 
 
 

      Принял: 

      "         "                                  2011 г. 

      ____________________________

                                                                                                        (Кузовлев В.И.)   
 
 
 
 
 
 

      КУРСОВАЯ  РАБОТА 

      "Исследование  методов резервирования систем"

      по  разделу

      "Модели  и методы оценки надежности  автоматизированных систем"

      курса

      "Надёжность и достоверность" 
 

      Вариант 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выполнил: 

      "         "                                  2010 г. 

                                                                                                        Меснянкин К.Л.

      _________________________ 
 
 
 
 
 
 

      Москва, 2010

ЗАДАНИЕ

 

   Для заданных расчетно-логических схем систем:

1. Получить методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной работы P(t), среднего времени безотказной работы m_t, коэффициента готовности К_г, наработки на отказ , среднего времени восстановления , вероятности успешного использования системы R(t) = К_г*P(t).
2. Рассчитать для указанных в задании параметров по полученным соотношениям критерии надежности систем.
3. Исследовать влияние на надежность систем:
1. интенсивности отказов - P( ), m_t( ), К_г( ), , R( );
2. интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы - P( ), m_t( ), Кг( ), , R( );
3. интенсивности восстановления - P( ), m_t( ), К_г( ), R( );
4. числа резервных блоков для различных типов резерва - P_г,т,х(s), m_{t г,т,х} (s), Кг_г,т,х (s), m_tBг,т,х, R_г,т,х (s).
4. Провести сравнение по вероятности безотказной работы, среднему времени безотказной работы, коэффициенту готовности
1. резервированной и нерезервированной систем  - P_р,нр, m_{t р,нр}, Кг_р,нр, _р,нр;
2. различных типов резерва - P_г,т,х, m_{t г,т,х}, Кг_г,т,х, _г,т,х;
3. восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем - P_в,нв, m_{t в,нв}, Кг_в,нв, _в,нв.

 

   Типы  систем: 

1. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью:
1. с нагруженным резервом;
2. с ненагруженным резервом;
3. с частично нагруженным резервом.
2. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте:

1. с нагруженным резервом;

2. с ненагруженным резервом.

 
 

   Исходные  данные (для схем  2 а,б,в, 8 а,б,в): 

1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ   КРАТНОСТЬЮ

1.1. Система с нагруженным резервом

 

1.1.1. Расчетно-логическая схема системы 
 

    

 
 

      Считается, что для работы системы  достаточно наличие хотя бы  одного работающего элемента.  

1.1.2. Граф состояний системы 

    В качестве состояния системы выберем  количество неисправных элементов. Граф состояний системы имеет  вид: 
 

        

    Рабочими  для системы являются состояния  с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.1.3. Расчет основных характеристик системы

 

    Система дифференциальных уравнений, соответствующая  графу состояний системы, имеет  вид: 

      

    Нормировочное условие:       

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

                               P₀(0)=1

                               P₁(0)=0

                               P₂(0)=0

                               P₃(0)=0 

    При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого  преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид: 

      

    Из  этой системы получим Р_i(t): 

      

    После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид: 

      

Вероятность безотказной работы системы 

    Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: 

      

    Для заданных значений   t = 1800 ч    и   = 5*10^-2 1/ч . 
 
 

    Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы представлена на графике: 

      
 

    Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов λ предоставлена на графике: 

      

Среднее время безотказной  работы 

    Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

    

    Для заданного значения  λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.292ч.

    Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов приведена на графике: 

    

1.1.4. Выводы

 

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении интенсивности отказов λ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
3. При увеличении интенсивности отказов λ время безотказной работы уменьшается.
4. Для заданных значений интенсивности отказов = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы .
5. Для заданного значения = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.292 ч, что меньше заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью лишь 0.117 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.

Система с частично нагруженным  резервом

1.2.1. Расчетно-логическая схема системы

 
 

 
 
 

    Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

 

      
 

    Рабочими  для системы являются состояния  с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3. Расчет основных характеристик системы

 

    Система дифференциальных уравнений, соответствующая  графу состояний системы, имеет вид: 

      

    Нормировочное условие:            
 

    Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: 

                               P₀(0)=1

                               P₁(0)=0

                               P₂(0)=0

                               P₃(0)=0 

    При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид: 

      

    Из  этой системы получим Р_i(t): 

      

    После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид: 

      

Вероятность безотказной работы системы 

    Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: 

    P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)  

    Для заданных значений   t = 4 ч,  = 0.8 1/ч и ₀ = 0.4 1/ч P_сист = 0.184.

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа резервных элементов λ₀ представлена на графике: 

      
 

    Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графике: 

      
 

Среднее время безотказной  работы 

    Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

    

    Для заданного значения λ=0.8 1/ч и λ₀=0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.708ч. 

    Зависимость среднего времени безотказной работы P(t) от интенсивности отказов резервных элементов λ₀ приведена на графике: 

      
 

    Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов нагруженных элементов λ приведена на графике: 
 

    

1.2.4. Выводы

 

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
3. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов l вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
4. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов l₀ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
5. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов l среднее время безотказной работы уменьшается.
6. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов l₀ среднее время безотказной работы уменьшается.
7. Для заданных значений интенсивностей отказов λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.184.
8. Для заданных значений интенсивностей отказов λ = 0.8 1/ч и λ₀ = 0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.708 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью  0.184 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.