Сущность и задачи корреляционного анализа

     По  силе различаются слабые и сильные  связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

     В наиболее общем виде задача теории экономического анализа в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая — регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

     Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле — когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле — когда исследуется сила связи — и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

     Задачи  собственно корреляционного анализа  сводятся к измерению тесноты  связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных  связей и оценке факторов, оказывающих  наибольшее влияние на результативный признак. Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

     Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы,  показатели,  применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

     Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах  программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющими требованиям  анализа пакет программ  и  быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычислений параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей? возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретаций результатов является обязательным условием исследования.

     Методы  оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и  непараметрические. Параметрические  методы основаны на использовании, как  правило, оценок нормального распределения  и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы — параметрические — и принято называть корреляционными. Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

     Приемы  корреляционного анализа используются для измерения влияния факторов в стохастическом анализе, когда  взаимосвязь между показателями неполная, вероятностная. Различают парную и множественную корреляцию. Парная корреляция — это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой -результативным. Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Необходимые условия применения корреляционного  анализа.

1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов).
2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

Применение  корреляционного анализа позволяет  решить следующие задачи:

     1) определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), т.е. определить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;

     2) установить относительную степень  зависимости результативного показателя от каждого фактора.

     Первая  задача решается путем подбора и  обоснования соответствующего типа уравнения связи и нахождения его параметров. Уравнение связи  обосновывается с помощью графиков, аналитических группировок и  т.д.

     Зависимость результативного показателя от определяющих его факторов можно выразить уравнением парной и множественной регрессии. При прямолинейной форме они имеют следующий вид: уравнение парной регрессии:

     

     уравнение множественной регрессии:

      ,

     где - свободный член уравнения при х = 0;

       – факторы, определяющие  уровень изучаемого результативного  показателя;

       – коэффициенты регрессии  при факторных показателях, характеризующие уровень влияния каждого фактора на результативный показатель в абсолютном выражении.

     В качестве примера для иллюстрации  корреляционного анализа прямолинейной  зависимости используем приведенные  в табл. 1 заданные об изменении уровня выработки рабочих (Y) в зависимости от уровня фондовооруженности труда ( ).

     Расчет  уравнения связи ( ) сводится к определению параметров а и Ь. Их находят из следующей системы уравнений:

       

     где – число наблюдений (в данном примере 10);

       — фондовооруженность труда  (стоимость основных производственных  фондов на одного работника  предприятия), тыс. руб.;

       — среднегодовая выработка продукции одним работником, тыс. руб.

     Расчет  производных данных для корреляционного  анализа

                                                                                                         Таблица 1

Подставив полученные значения в систему уравнений  получим.

     

     Умножив все члены первого уравнения  на 4, получим:

     

     Вычтя из второго уравнения первое, узнаем, что 

      .

     Отсюда  .

      .

     Уравнение связи, описывающее зависимость  производительности труда от фондовооруженности, получило следующие выражение:

      .

     Коэффициент – постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. Параметр показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением фондовооруженности труда на 1 тыс. руб. выработка рабочих повышается в среднем на 1,25 тыс. руб.

     Подставив в уравнение регрессии соответствующие  значения , можно определить выравненные (теоретические) значения результативного показателя ( ) для каждого предприятия. Например, чтобы рассчитать выработку рабочих на первом предприятии, где фондовооруженность труда равна 3,1 тыс. руб., необходимо это значение подставить в уравнение связи:

      .

     Полученная величина показывает, какой была бы выработка при фондовооруженности труда 3,1 тыс. руб., если бы данное предприятие использовало свои производственные мощности в такой степени, как в среднем все предприятия этой выборки. Фактическая выработка на данном предприятии выше расчетного значения. Следовательно, предприятие использует свои производственные мощности несколько лучше, чем в среднем по отрасли. Аналогичные расчеты сделаны для каждого предприятия. Данные приведены в последней графе табл. 1. Сравнение фактического уровня выработки рабочих с расчетным позволяет оценить результаты работы отдельных предприятий.

     По  такому же принципу решается уравнение  связи при криволинейной зависимости  между изучаемыми явлениями. Когда  при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определенного уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка:

      .

     В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров , и необходимо решить следующую систему уравнений:

     

     Кроме параболы для описания криволинейной зависимости в корреляционном анализе очень часто используется гипербола:

      .

     Для определения ее параметров необходимо решить следующую систему уравнений:

     

     Гипербола описывает такую зависимость  между двумя показателями, когда при увеличении одной переменной значения другой увеличиваются до определенного уровня, а потом прирост снижается, например зависимость урожайности от количества внесенного удобрения, продуктивности животных от уровня их кормления, себестоимости единицы продукции от объема ее производства и т.д.

     При более сложном характере зависимости  между изучаемыми явлениями используются более сложные параболы (третьего, четвертого порядка и т.д.), а также  квадратические, степенные, показательные  и другие функции.

     Таким образом, используя тот или иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости  между изучаемыми явлениями, узнать, на сколько единиц в абсолютном измерении  изменяется величина результативного  показателя с изменением факторного на единицу. Однако регрессионный анализ не дает ответа на вопрос: насколько тесна эта связь, решающее или второстепенное воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя?

     Для измерения тесноты связи между  факторными и результативными показателями исчисляется коэффициент корреляции. При прямолинейной форме связи между изучаемыми показателями он рассчитывается по следующей формуле:

      .

     Подставив значения в формулу из табл. 1, получим значение коэффициента корреляции, равное 0,97. Этот коэффициент может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. В данном случае величина коэффициента корреляции является существенной ( ). Это позволяет сделать вывод о том, что фондовооруженность — один из основных факторов, от которых на анализируемых предприятиях зависит уровень производительности труда.