Основы автоматики

     

 

     Преобразуем знаменатель

     

     

     

     Следовательно

     

     

     Домножим  на комплексно сопряженное выражение  и числитель и знаменатель (избавимся  от мнимости в знаменателе):

 

     

     Выделим действительную и мнимую части:

     

     

     Преобразуем:

     

     

     Тогда:

     

     

     1.ЛАЧХ — логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы. ЛАЧХ стоят по следующему алгоритму: определяются опорные частоты звеньев. В нашем случае это будут частоты, [14,c.28]:    

w₁=1/Т₁=1/0,5=2 с^-1

w₂=1/Т₂=1/0,08=12,5 с^-1

w₃=1/Т₃=1/0,005=125 с^-1

На частоте, соответствующей w =1с^-1 находят значение

20logk=20log150=43,5дБ

Из этой точки под наклоном –20дБ/дек проводят прямую до пересечения с асимптотой w₁. Теперь  прямая уже с наклоном –40дБ/дек пойдет до пересечения с асимптотой, соответствующей w₂. Потом ЛАЧХ имеет наклон -20дБ/дек до пересечения с асимптотой w₃ и последний наклон ЛАЧХ -60дБ/дек. ЛАЧХ скорректированной системы изображена в приложении 2 на рис.2.5.

     2.ЛФЧХ — логарифмическая фазо-частотная характеристика системы.

Её строят в соответствии с уравнением, [14,c.29]:

    С помощью ЛАФЧХ легко проверить  САР на устойчивость и определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется ординатой ЛАЧХ, соответствующей точке пересечения ЛФЧХ с прямой -p а равен . Запас устойчивости по фазе определяется превышением ЛФЧХ над прямой -p при частоте среза w_ср и равен . ЛФЧХ скорректированной системы изображена в приложении 2 на рис.2.6.

     3.АЧХ — аплитудно-частотная характеристика. Значение амплитуды находятся по формуле, [14,c.30]:

где Re(w)-действительная часть, Im(w)- мнимая часть передаточной функции (2).

      Подставляя  значения w от 0 до ¥, получим АЧХ замкнутой системы. АЧХ скорректированной системы изображена  в приложении 2 на рис.2.7.

     4.ФЧХ — фазочастотная характеристика. Значение фазы находятся по формуле, [14,c.30]:

где Re(w)-действительная часть, Im(w)- мнимая часть передаточной функции (2).

Задавая значения w от 0 до ¥, получим ФЧХ замкнутой системы. ФЧХ скорректированной системы изображена в приложении 2 на рис.2.8.

     5.АФЧХ — аплитудно-фазо-частотная характеристика. Эта характеристика соответствует уравнению, [14,c.29]:

где Re(w)-действительная часть, Im(w)- мнимая часть передаточной функции (2).

Подставляя  значения w от 0 до ¥, получим АФЧХ замкнутой системы. АФХ скорректированной системы изображена  в приложении 2 на рис.2.9.

     6.ВЧХ — вещественно-частотная характеристика. Эта характеристика соответствует уравнению, [14,c.31]:

где Re(w)-действительная часть передаточной функции (2).

ВЧХ скорректированной  системы изображена в приложении 2  на рис.2.10.

 

8. Построение кривой переходного процесса скорректированной САР. Определение качественных параметров САР. Выводы. 

    Для исследования качества работы скорректированной  САР используем передаточную функцию  скорректированной САР. Передаточная функция замкнутой скорректированной  САР имеет вид:

    

     Для получения частотной  передаточной функции необходимо в передаточной функции в операторной форме заменить p на jw:

     

      Кривая  переходного процесса скорректированной  САР будет строится по зависимости, [14,c.31]:

      

      Кривая  переходного процесса скорректированной САР имеет вид, показанный на рисунке 2.11 в приложении 2.

     Определение качественных показателей по кривой переходного процесса:

     Время переходного процесса:

     

.

     Перерегулирование, [14,c.31]:

     

.

     Число колебаний за время переходного процесса – 1.

     Определение качественных параметров по АЧХ системы (приложение 2, рис. 2.7):

     Показатель  колебательности, [14,c.30]:

     

.

     Ширина  полосы пропускания – чем она  шире, тем меньше длительность переходного  процесса:

     

.

     Время переходного процесса в первом приближении  можно оценить как, [14,c.31]:

     

.

     Определение качественных параметров с использованием ВЧХ (приложение 2, рис. 2.10):

     Начальная ордината ВЧХ равна установившемуся  процессу переходной кривой:

.

Частота, ограничивающая интервал положительных ВЧХ:

.

Перерегулирование в системе, [14,c.31]:

.

Время переходного  процесса будет, [14,c.31]:

.

      Теперь  мы видим, что перерегулирование  составляет 30 %, а время регулирования составляет менее 0,6 с. Таким образом, скорректированная САР является качественной.

    Запас устойчивости по амплитуде определяется значением ЖЛАЧХ при частоте, на которой ЛФЧХ скорректированной САР пересекает прямую с ординатой :

    

    Запас устойчивости по фазе определяется превышением  ЛФЧХ над прямой -p при частоте среза w_ср.

    

    Таким образом, скорректированная САР удовлетворяет всем требованиям. 

 

Вывод

     Как видно из анализа характеристик, конечная система обеспечивает требуемую  точность при заданных скоростях  и ускорениях, является устойчивой и обладает необходимыми запасами устойчивости по амплитуде и по фазе , что удовлетворяет требуемую более ; перерегулирование ; время переходного процесса  не больше заданного . Следовательно, спроектированная система является полностью работоспособной и удовлетворяет поставленным задачам.

 

Задача №2.

Вариант 24. 

1. Временные характеристики динамических звеньев. Переходная характеристика. Функция веса.

 

     Для оценки динамических свойств системы  и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Во-первых, это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки зрения их динамических свойств. Во-вторых, зная реакцию на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.

     Временные характеристики, к которым относятся:

• переходная функция или переходная характеристика h(t),
• импульсная передаточная функция или функция веса w(t).

     Временные характеристики определяют вид изменения  выходного сигнала при подаче на вход звена типового управляющего воздействия. Это позволяет сравнивать свойства звеньев в динамических режимах работы. Временные свойства звена определяются его переходной и импульсной переходной характеристиками.

     Переходная  функция или переходная характеристика h(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равного единице. Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается

 

что соответствует  следующим условиям:

 

Рисунок 1. – Воздействие единичной ступенчатой функцией. 

     Изображение единичной ступенчатой функции определяется как 

     1(s) = L {1(t)} = 1/s. 

     Чтобы определить изображение переходной функции при известной передаточной функции звена W(s) необходимо выполнить следующую операцию:

     

 

     Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду воздействия сводятся возрастание момента на валу двигателя, мгновенное изменение задания на частоту вращения двигателя.

     Функция веса или импульсная переходная характеристика представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию. Единичная импульсная функция, или -функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции. То есть 

     

. 

     Дельта-функция  тождественно равна нулю во всех точках, кроме t=0, где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции состоит в том, что

     

, 

то есть она имеет единичную площадь.