В качестве эффективного метода нахождения границ устойчивости можно применить  метод Д-разбиения.

_{Передаточная  функция замкнутой  системы:}

      

     Характеристическое уравнение системы, [14,c.18]:

     

     Заменим комплексную переменную p мнимой переменной . После этого находим мнимую и вещественную части (в общем виде ) и на комплексной плоскости, изменяя w от 0 до бесконечности, строим график D-разбиения (рис.2.2.).

     Затем строится зеркальная характеристика. Область устойчивости определяется методом штриховки: двигаясь по кривой от -¥ до +¥ с левой стороны нанесём штриховку.

  

  Рисунок 2.1. – Определение устойчивости по методу Михайлова.

 

      Область предполагаемой устойчивости лежит  там, где штриховка обращена внутрь. Граница D-разбиения для исходной САР показана на рисунке 2.2. 

 

Рисунок 2.2. – D-разбиения для исходной САР. 

      Мы  видим, что параметр К находится в пределах от 0 до 35,26.

     Окончательный вид передаточной функции САР  следующий: 

 

 

3. Анализ качества исходной САР по частотных характеристикам (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ). 

     Для построения частотных характеристик  системы выделим действительную (Re(ω)) и мнимую (Im(ω)) части из передаточной функции исходной незамкнутой системы.

      Для этого произведём замену   р=jw . Для того, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, необходимо и числитель и знаменатель домножить на комлексно-сопряжённое выражение. После этого получим в явном виде  действительную (Re(ω)) и мнимую (Im(ω)) части.

Передаточная  функция разомкнутой системы:

_{Передаточная  функция замкнутой  системы:}

        (1)

     Для получения частотной передаточной функции необходимо в передаточной функции в операторной форме заменить p на jw, [14,c.14]:

     _{Преобразуем:}

     

     

     Домножим  на комплексно сопряженное выражение  и числитель и знаменатель (избавимся от мнимости в знаменателе):

   

     

     

 

     Выделим действительную и мнимую части:

     

     _{Преобразуем  и получим:}

     

 

    1.ЛАЧХ — логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы. ЛАЧХ строят по следующему алгоритму: определяются опорные частоты звеньев. В нашем случае это будут частоты:    

w₁=1/Т₁=1/0,52=1,92 с^-1

w₂=1/Т₃=1/0,03=33,33 с^-1

На частоте, соответствующей w =1с^-1 находят значение:

20logk=20log3,75=11,5

Из этой точки под наклоном –20дБ/дек проводят прямую до пересечения с асимптотой w₁. Теперь  прямая уже с наклоном –40дБ/дек пойдет до пересечения с асимптотой, соответствующей w₂. И последний наклон ЛАЧХ -60дБ/дек. ЛАЧХ исходной системы изображена в приложении 1на рис.1.1.

    2. ЛФЧХ — логарифмическая фазо-частотная характеристика системы.

При построении ЛФЧХ следует учесть, что каждое динамическое звено дает сдвиг по фазе выходных сигналов по отношению к входным в зависимости от его вида на следующие величины, [14,c.14]:

1) идеальное  интегрирующее  на   - p/2;

2) апериодическое  на  - аrctg(w×T). 

ЛФЧХ в соответствии с этим примет вид: 

      С помощью ЛАФЧХ легко проверить САР на устойчивость и определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется ординатой ЛАЧХ, соответствующей точке пересечения ЛФЧХ с прямой -p и равен . Запас устойчивости по фазе определяется превышением ЛФЧХ над прямой -p при частоте среза w_ср и равен  .  ЛФЧХ исходной системы изображена в приложении 1 на рис.1.2. Следовательно, система не обладает достаточным запасом устойчивости по частоте и по амплитуде. Коррекция этой системы необходима.  

            3. АЧХ — аплитудно-частотная характеристика. Значение амплитуды находятся по формуле:

где Re(w)-действительная часть, Im(w)- мнимая часть передаточной функции (1).

      Подставляя  значения w от 0 до ¥, получим АЧХ замкнутой системы. АЧХ исходной системы изображена  в приложении 1 на рис.1.3.

            4. ФЧХ — фазочастотная характеристика. Значение фазы находятся по формуле:

где Re(w)-действительная часть, Im(w)- мнимая часть передаточной функции (1).

Задавая значения w от 0 до ¥, получим ФЧХ замкнутой системы. ФЧХ исходной системы изображена  в приложении 1 на рис.1.4.

            5.АФЧХ — аплитудно-фазо-частотная характеристика. Эта характеристика соответствует уравнению

где Re(w)-действительная часть, Im(w)- мнимая часть передаточной функции (1).

  Подставляя  значения w от 0 до ¥, получим АФЧХ замкнутой системы. АФЧХ исходной системы изображена в приложении 1  на рис.1.5.

            6. ВЧХ — вещественно-частотная характеристика. Эта характеристика соответствует уравнению:

где Re(w)-действительная часть (1).

ВЧХ исходной системы изображена в приложении 1 на рис.1.6.

    Теперь  проанализируем качество работы исходной САР. Устойчивость является необходимым, но не достаточным условием нормального функционирования САР. Поэтому также определяют качество переходных процессов в системе автоматического регулирования. Оценить качество можно или непосредственно по опытным или по расчетным кривым переходного процесса, или косвенно по каким-либо другим динамическим параметрам. Оценки качества, полученные непосредственно по кривым переходного процесса, называются прямыми оценками. Все другие относятся к косвенным оценкам.

    Для определения показателей качества необходимо построение кривой переходного процесса (приложение 1, рис.1.7). Кривая переходного процесса связана с ВЧХ следующей зависимостью, [14,c.31]:

.

    Определение качественных показателей по кривой переходного процесса:

    Время переходного процесса – время  от момента подачи воздействия на систему до окончания момента  переходного процесса. Переходный процесс  считается закончившимся, если отклонение регулируемого параметра от заданного  значения не больше 3-5 %.

В данном случае время переходного процесса будет равно:

.

    Перерегулирование – относительная величина максимального  отклонения регулируемой величины от установившегося значения, [14,c.31]:

.

    Статическая ошибка, [14,c.31]:

.

    Определение качественных параметров по АЧХ системы (приложение 1, рис. 1.3.):

    Показатель  колебательности, [14,c.30]:

.

    Ширина  полосы пропускания – чем она шире, тем меньше длительность переходного процесса:

.

    Определение качественных параметров с использованием ВЧХ (приложение 1, рис. 1.6):

    Начальная ордината ВЧХ равна установившемуся  процессу переходной кривой:

.

    Частота, ограничивающая интервал положительных ВЧХ:

.

    Перерегулирование в системе, [14,c.31]:

.

    Время переходного процесса будет, [14,c.31]:

.

    Для определения качества работы следящей системы определим положение  рабочей точки, которая определяет работу системы с заданными показателями скорости и ускорения. Рабочая точка имеет следующие координаты, [14,c.19]:

А_р(

),

где =8’=0,00232рад

Определим координаты рабочей точки, [14,c.19]:

 дБ.

 Рабочая частота  –  ,

где – максимальное угловое ускорение вала,

       – максимальная частота вращения вала.

      Координаты  рабочей точки А_р( ).

    Анализируя  положение рабочей точки, находим, что исходная система не удовлетворяет требованиям по качеству работы САР, так как она располагается выше исходной ЛАЧХ.

             Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ показывает, что система не дает заданного запаса по амплитуде и фазе, хотя и является устойчивой по коэффициенту усиления. Анализ переходного процесса исходной САР показывает, что время переходного процесса составляет 3,75 с, что превышает заданные 0,6 с, при этом система сделает 3 колебаний. Перерегулирование в исходной системе составляет 35%. График переходного процесса представлен в приложении 1  на рис.1.7. 

    Итак, определив качественные параметры  системы, мы видим, что система недостаточно качественна, и требуется ее коррекция. 
 

 

4. Корректировка качества работы исходной САР. Построение желаемой ЛАЧХ и ЛФЧХ.