Математические модели принятия решений в экономике

	Д	Ж	У
3	80	60	40
к	70	40	80
П	70	50	60
с	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

 

Найдем ожидаемые выигрыши, соответствующие альтернативам 3, К, П, С, Т, Ш. Имеем:

Мз=80•0,2+60•0,5 + 40 • 0,3 = 58;

М_к=70•0,2+40• 0, 5 + 80 • 0, 3 = 58;

Мп=70•0,2+50•0, 5 + 60 • 0, 3 = 57;

Мс=50•0,2+50•0, 5 + 70 • 0, 3 = 56;

М_т=75•0,2+50• 0, 5 + 50 • 0, 3 = 55;

М_ш=35•0,2+75• 0,5 + 60•0,3 = 62,5.

Далее, определим дисперсии  случайных величин  з, _К, п, с, _Т, _Ш .

 рис. 5

D _З = 6400 • 0, 2 + 3600 • 0, 5 + 1600 • 0, 3 - (58)² = 196;

D _К = 4900 • 0, 2 + 1600 • 0, 5 + 6400 • 0, 3 - (58)² = 336;

D _П = 4900 • 0, 2 + 2500 • 0, 5 + 3600 -0,3 - (57)² = 61;

D _С = 2500 •0,2 + 2500 • 0, 5 + 4900 • 0, 3 - (56)² = 84;

D _Т = 5625 • 0, 2 + 2500 •0,5 + 2500 • 0, 3 - (55)² = 100;

D _Ш = 1225 • 0, 2 + 5625 • 0, 5 + 3600 • 0, 3 - (62, 5)² = 231, 5.

Среднеквадратичные  отклонения рассматриваемых случайных  величин таковы:

_з = =14,0; _к = ; _п = ; _с = ; _т = = 10, 0; _ш = .

Составим таблицу  значений критериев М и для каждой альтернативы (табл. 5).

Таблица 5

	м
3	58	14,0
к	58	18,3
п	57	7,8
с	56	9,2
т	55	10,0
ш	62,5	15,2

 

Представив  рассматриваемые альтернативы точками  на координатной плоскости переменных (М, ), получим рис. 5.

А) метод субоптимизации:

возьмем в качестве нижней границы критерия ожидаемого выигрыша значение М=58, то оптимальной  будет альтернатива З, т.к. среди  альтернатив, удовлетворяющих условию  М_i 58, она наименее рискованна.

Б) метод лексикографической оптимизации:

Пусть М –  важнейший критерий, тогда альтернатива Ш является оптимальной, т.к. имеет максимальное значение по критерию М.

 

Задание 15.

Сравните по предпочтительности лотереи 

(выигрыши указаны  в рублях)

а) по критерию ДДЭ (предварительно построить по пяти точкам свою кривую денежных эквивалентов),

б) по обобщенному критерию q = М — , взяв в качестве свой  показатель несклонности к риску.

Решение. A)

 

 

 

 

 

 

 

 

Для построения кривой денежных эквивалентов будем по оси абсцисс откладывать деньги (в некоторых денежных единицах), а по оси ординат — параметр простой лотереи р (0 < р < 1). Кривая денежных эквивалентов состоит из точек с координатами (х_р; р), где р — параметр простой лотереи а x_p — ДДЭ простой лотереи _р.

При р=0 получаем простую  лотерею

Итак, кривая денежных эквивалентов всегда проходит через точки (10; 0) и (100; 1).

Рассмотрим теперь вопрос нахождения ДДЭ простой лотереи  с параметром р =0, 5, т.е. лотереи

ДДЭ лотереи  _0,5 есть денежная сумма x_0,5, которая для принимающего решение равноценна его участию в этой лотерее. Участие в лотерее с выигрышами в 10 денежных ед. и в 100 денежных ед. обычно оценивается суммой 20-30 денежных ед., т.е. суммой, существенно меньшей, чем математическое ожидание выигрыша в такой лотерее (равной здесь 55 денежных ед.). С другой стороны, ДДЭ этой лотереи по смыслу не может быть ниже 10. Итак, 10 < x_0,5 < 55. Таким образом, точка (х_0,5;0, 5) лежит на горизонтальной прямой р = 0,5 между точками ее пересечения с прямой x =10 и прямой l, соединяющей точки (10; 0) и (100; 1).

Далее, принимающий решение должен указать ДДЭ простых лотерей   и

  Те же соображения, которые были высказаны при нахождении точки _0,5, приводят к неравенствам: 10 < х_0,25 < х_0,5, х0,5 < х0,75 < 100.

Итак, на кривой денежных эквивалентов найдено пять точек: (10;0), (100,1), (хо,25; 0, 25), (x₀,₅; 0, 5), (х₀,75; 0, 75). Проведя через эти пять точек гладкую кривую, получаем в результате эмпирическую кривую денежных эквивалентов.

Найдем ДДЭ летереи _1.

     1)

 

 

2)М(u( ₁))=0*0,8+1*0,2=0,2

3)ДДЭ ₁=u^-1(М(u( ₁)))= u^-1(0,2)=16

Найдем ДДЭ лотереи _2.

      1)

2)М(u( ₂))=0,2*0,5+0,4*0,5=0,3

3)ДДЭ ₂=u^-1(М(u( ₂)))= u^-1(0,3)=25

ДДЭ ₂> ДДЭ ₁, следовательно, лотерея ₂ предпочтительнее лотереи _1.

Б)q = М — , =3

М( ₁)=10*0,8+100*0,2=28

D( ₁)₌1296

( ₁)=36

q( ₁)=-80

 

M( ₂)=25

D( ₂)=25

( ₂)=5

q( ₂)=10

    лотерея ₁ предпочтительнее

Задание 16.

 

Для задачи выбора продаваемого товара найдите оптимальную альтернативу по критерию ожидаемой полезности (предварительно построить по пяти точкам график эмпирической функции полезности денежного критерия)

Решение.

 

	Т1`	Т2`	Т3`
T1	8	18	40
Т2	18	15	14

 

Составим две альтернативы:

и      

 

Кривая денежных эквивалентов всегда проходит через точки (8; 0) и (40; 1).

Итак, 8 < x_0,5 < 24. Таким образом, точка (х_0,5;0, 5) лежит на горизонтальной прямой р = 0,5 между точками ее пересечения с прямой x =8 и прямой l, соединяющей точки (8; 0) и (40; 1).

Далее, принимающий решение  должен указать ДДЭ простых альтернатив , и .

Те же соображения, которые  были высказаны при нахождении точки _0,5, приводят к неравенствам: 8 < х_0,25 < х_0,5, х0,5 < х0,75 < 40.

Итак, на кривой денежных эквивалентов найдено пять точек: (8;0), (40,1), (хо,25; 0, 25), (x₀,₅; 0, 5), (х₀,75; 0, 75).

 

Найдем ДДЭ альтернативы ₁₁= _.

 

 

1)

    2)М(u( ₁))=0*3/4+1*1/4+0,7*4/8=0,6

3)ДДЭ ₁=u^-1(М(u( ₁)))= u^-1(0,6)=14

Найдем ДДЭ альтернативы ₂₂=_.

      1)

2)М(u( ₂₂))=0,7*3/8+0,65*4/8+0,6*1/8=55/80

3)ДДЭ ₂=u^-1(М(u( ₂)))= u^-1(55/80)=17

ДДЭ ₂> ДДЭ ₁, следовательно, альтернатива ₂ предпочтительнее альтернативы _1.

Задание 17.

 

Для задачи 12 найдите ожидаемый  выигрыш и показатель риска при  использовании смешанной стратегии х^к, в которой первые к чистых стратегий выбираются равновероятно, а остальные стратегии отбрасываются (к = 1,6) Предполагается, что случайные величины, являющиеся результатом выбора чистых стратегий, попарно не коррелируют.

Решение.

	Д	Ж	У
3	80	60	40
к	70	40	80
П	70	50	60
с	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Пусть х^к (к < 6) — смешанная стратегия, в которой первые к стратегий из 1 ,6 выбираются равновероятно, а остальные стратегии входят с нулевыми вероятностями (т.е. отбрасываются). Математическое ожидание и СКО случайной величины, возникающей при использовании смешанной стратегии х^к, определяются равенствами

Значения  математического ожидания и среднее квадратичное отклонение мы нашли в предыдущей задаче, воспользуемся ими. При смешанной стратегии х¹  = (1,0,0,0,0,0) математическое ожидание равно 58, а среднее квадратичное отклонение есть 14, при

 х²  = (1/2,1/2,0,0,0,0) M=1/2(58+58)=58, =1/2( )=11,52;

 х³  = (1/3,1/3,1/3,0,0,0) M=1/3(58+58+57)=57,7, =1/3( )=8,11;

 х⁴  = (1/4,1/4,1/4,1/4,0,0) M=1/4(58+58+57+56)=57,25, =1/4( )=6,49

х⁵  = (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5,0) M=1/5(58+58+57+56+55)=56,8, =1/5( )=5,56

х³  = (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6) M=1/6(58+58+57+56+55+62,5)=57,8, =1/6( )=5,17

При увеличении числа «смешиваемыж» стратегий незначительное уменьшение ожидаемого выигрыша сопровождается устойчивым снижением риска.

	м
3	58	14,0
к	58	18,3
п	57	7,8
с	56	9,2
т	55	10,0
ш	62,5	15,2

Задание 18.

 

Для задачи выбора продаваемого товара найдите максимально допустимую стоимость идеального эксперимента.

Решение.

Идеальный эксперимент  будет выгодным тогда и только тогда, когда

,где  , - максимальный ожидаемый выигрыш, С- стоимость идеального эксперимента.

M(T₁)=17; M(T₂)=16

 

	Т1`	Т2`	Т3`
T1	8	18	40
Т2	18	15	14
P	3/8	4/8	1/8

=17

=20

20-C>17

C<3

 

 

 

Задание 19.

 

Для задачи о бурении  нефтяной скважины найдите оптимальную  стратегию, используя в качестве оценки позиции природы критерий ожидаемой полезности (предварительно постройте на заданном интервале  денежных выигрышей эмпирическую функцию полезности денежного критерия).

Решение.

Правило  (критерий ожидаемой полезности). Для любых двух лотерей и с денежными выигрышами, заключенными между а и А, лотерея считается более предпочтительной, чем лотерея тогда и только тогда, когда ожидаемая полезность лотереи больше, чем ожидаемая полезность лотереи .

Бурение нефтяной скважины.

Руководитель поисковой группы должен принять решение: бурить нефтяную скважину или нет. Скважина может оказаться «сухой» (С), т.е. без нефти, «маломощной» (М), т.е. с малым со держанием нефти, и «богатой» (Б), т.е. с большим содержанием нефти. Альтернативами руководителя группы являются: x1 — бурить и ч2 — не бурить. Чистая прибыль (в тыс. долларов) при выборе одной из этих альтернатив в зависимости от возможного типа скважины приведена в таблице прибылей (табл. 6).

Таблица 6

	С	М	Б
Х1	-70	50	200
Х2	0	0	0
Р	0,5	0,3	0,2