Математические модели принятия решений в экономике

 

Задание 8.

Построите полное ранжирование указанных в табл. векторных оценок по критериям и и v, зная, что в области векторных оценок ЛKЗ имеет вид: k(u,v) = 2v/3u.

Таблица 2

	Критерий
Вариант	и	V
1	5	2
2	3	3
3	2	4
4	1,5	4,5
5	1,3	5

Решение.

Вначале находим карту безразличий, на основе которой строим обобщенный критерий. Так как угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой безразличия в произвольной точке М(и; v) области Q, равен —к(и, v), то можно составить дифференциальное уравнение для кривых безразличия:

= -k(u,v). 

Каждая интегральная кривая уравнения  представляет собой  Кривую безразличия, а однопараметрическое семейство всех интегральных кривых, рассматриваемых в области Q, составляет карту безразличий. Таким образом, при заданном в аналитической форме JIK3 задача построения карты безразличий сводится к задаче интегрирования диференциального уравнения.

В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение кривых безразличия принимает следующий  вид:

         . 

Разделяя переменные, имеем    , откуда, интегрируя, получаем u²v³ = с.

Последнее соотношение при любом фиксированном с > 0 определяет кривую безразличия, а семейство всех таких кривых в области Q образует карту безразличий К. Функция c(u,v) = u²v³ является обобщенным критерием, совместимым с картой К (значит, и с JIK3 k(u,v) = 2v/3u). Находим: с(1) = 5² • 2³ = 200, с(2) = 3² • 3³=343, с(3) = 2² • 4³ = 256, с(4) = 1,5² • 4,5³ = 205,031, с(5) = 1,3² • 5³ = 211,25. Таким образом, по обобщенному критерию c(u,v) = и² v³ , вариант 2 будет более предпочтительным, чем все остальные.

 

Задание 9.

 В области векторных оценок D, определенной системой неравенств найдите наиболее предпочтительную векторную оценку, если карта безразличий задается уравнением uv = с.

Решение.

uv=c – гипербола имеет одну точку пересечения с эллипсом.

9p²-18p-2c²=0

D=81-18c²=0, c=2.12

v=1,18; u=1,8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 10.

 

Для задачи аренды отеля постройте  матрицу выигрышей, взяв в качестве множества Y состояний среды следующие значения среднегодового спроса {5, 10,15,.., 50} В полученной ЗПР в условиях неопределенности найдите оптимальные решения по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа.

Аренда отеля. Предприниматель намерен взять в аренду отель сроком на один год. Имеются отели четырех типов: на 20, 30, 40 или 50 комнат. По условиям аренды предприниматель должен оплатить все расходы, связанные с содержанием отеля.

Цлевая функция для данной задачи принятия решения такова:

f(x, у) = 54 750 у - 2775 x - 25 500

Решение.

x\y	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
20	192750	466500	740250	1014000	1287750	1561500	1835250	2109000	2382750	2656500	опт
30	165000	438750	712500	986250	1260000	1533750	1807500	2081250	2355000	2628750
40	137250	411000	684750	958500	1232250	1506000	1779750	2053500	2327250	2601000
50	109500	383250	657000	930750	1204500	1478250	1752000	2025750	2299500	2573250
критерий Лапласа				критерий Вальда				критерий Гурвица		а=1/2
L(20)=	1424625	оптимальный		W(20)=	192750	оптимальный		Н(20)=	1424625	оптимальный
L(30)=	1396875			W(30)=	165000				1396875
L(40)=	1369125			W(40)=	137250				1369125
L(50)=	1341375			W(50)=	109500				1341375
критерий Сэвиджа
x\y	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
20	192750	466500	740250	1014000	1287750	1561500	1835250	2109000	2382750	2656500
30	165000	438750	712500	986250	1260000	1533750	1807500	2081250	2355000	2628750
40	137250	411000	684750	958500	1232250	1506000	1779750	2053500	2327250	2601000
50	109500	383250	657000	930750	1204500	1478250	1752000	2025750	2299500	2573250
	192750	466500	740250	1014000	1287750	1561500	7835250	2109000	2382750	2656500
rji:
x\y	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	max
20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	опт
30	27750	27750	27750	27750	27750	27750	27750	27750	27750	27750	27750
40	55500	55500	55500	55500	55500	55500	55500	55500	55500	55500	55500
50	83250	83250	83250	83250	83250	83250	83250	83250	83250	83250	83250
	192750	466500	740250	1014000	1287750	1561500	7835250	2109000	2382750	2656500

 

Задание 11.

 

Для задачи выбора проекта электростанции найдите оптимальное решение  по критерию Гурвица с показателем  пессимизма = 0,3 и = 0,9

Задача. Выбор проекта электростанции.

Энергетическая компания должна выбрать проект электростанции. Всего имеется четыре типа электростанций: A₁ -тепловые, A₂ -приплотинные, A₃ -бесшлюзовые, A₄ -шлюзовые. Последствия, связанные со строительством и дальнейшей эксплуатацией электростанции каждого из этих типов, зависят от ряда неопределенных факторов (состояния погоды, возможности наводнения, цены топлива, расходы по транспортировке топлива и т.п.). Предположим, что можно выделить четыре варианта сочетаний данных факторов — они выступают в качестве состояний среды и обозначены здесь через B₁,В₂, В₃, В₄. Экономическая эффективность электростанции определяется в данном случае как процент прироста дохода в течение одного года эксплуатации электростанции в сопоставлении с капитальными затратами; она зависит как от типа электростанции, так и от состояния среды и определяется табл. Какой проект электростанции является здесь оптимальным?

Решение.

1) = 0,3

	B1	B2	B3	B4
A1	7	5	1	10
A2	5	2	8	4
A3	1	3	4	12
A4	8	5	1	10

 

H_0.3(A₁)=0.3*1+0.7*10=7.3

H_0.3(A₂)= 0.3*2+0.7*8=6.2

H_0.3(A₃)=0.3*1+0.7*12=8.7 –оптимальное решение

H_0.3(A₄)=0.3*1+0.7*10=7.3

2) = 0,9

H_0.9(A₁)=0.9*1+0.1*10=1.9

H_0.9(A₂)= 0.9*2+0.1*8=2.6–оптимальное решение

H_0.9(A₃)=0.9*1+0.1*12=2.1

H_0.9(A₄)=0.9*1+0.1*10=1.9

Задание 12.

 

Покажите, что если альтернатива i₁ является оптимальной по одному из критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и i₂ доминирует i₁, то альтернатива i₂ также будет оптимальной по соответствующему критерию.

Решение.

1) Пусть i₁ оптимальна по критерию Лапласа, и i₂ доминирует i₁, т.е.

Т.к.  оптимально по критерию Лапласа.

2) Пусть i₁ оптимальна по критерию Вальда, и i₂ доминирует i₁, т.е.

W(i^*)=   W(i₁)= a_i1^j  Т.к.

3) Пусть i₁ оптимальна по критерию Гурвица, и i₂ доминирует i₁, т.е.

Н (i₁) H (i₂), т.к.

4) Пусть i₁ оптимальна по критерию Сэвиджа, и i₂ доминирует i₁, т.е.  

r^j_i= ^j-a_i^j, ^j=

S(i)=

 

Задание 13.

 

Для задачи выбора продаваемого товара найдите оптимальную альтернативу по обобщенному критерию q = М — , взяв в качестве свой (субъективный) показатель несклонности к риску.

Решение.

Выбор варианта продаваемого товара. Фирма А может выставить на продажу один из товаров 7\ или Т₂, а фирма В — один из товаров Т₁`, Т<sub>2</sub>`, T₃`. Товары Т<sub>1</sub> и Т<sub>1</sub>` являются конкурирующими (например, пиво и лимонад), товары Т₁ и Т₃`  — дополнительными (например, пиво и вобла); остальные пары товаров практически нейтральны. Прибыль фирмы А зависит от сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами, и определяется табл. (в некоторых денежных единицах). Известно, что фирма В выставляет на продажу товар Т<sub>3</sub>`в три раза реже, чем Т₁` и в четыре раза реже, чем Т<sub>2</sub>`. Какой товар следует выставить на продажу фирме А?

	Т1`	Т2`	Т3`
T1	8	18	40
Т2	18	15	14

Рассмотрим эту задачу как задачу принятия решения для  фирмы А, при этом табл. будет матрицей выигрышей. В качестве состояний среды здесь выступают виды товаров, выставляемых на продажу фирмой В. Вероятности этих состояний могут быть найдены из указанного соотношения частот следующим образом. Пусть х — доля случаев, в которых выставляется на продажу товар Т₃'. Тогда для товара Т₁` доля случаев, в которых он выставляется на продажу, составляет 3х, а для товара Т<sub>2</sub>` — 4х. Так как х + 3х + 4х = 1, то х = 1/8, откуда вероятности состояний Т₁`, Т<sub>2</sub>`, T₃` равны соответственно 3/8, 4/8 и 1/8. В результате получаем ЗПР в условиях риска, заданную табл.

Таблица

	3/8 1	4/8 2	1/8 3
T1	8	18	40
T2	18	15	14

 

Найдем q для T₁ и T₂. Положим =3.

M =8*3/8+18*4/8+40*1/8=17

M =18*3/8+15*4/8+14*1/8=16

D =97

=9.8

q=17-3*9.8=-12.4

 

D =2.5

1.6

q=17-3*1.6=11.2

Задание 14.

 

Найдите оптимальное  решение для задачи, используя

а) метод субоптимизации,

б) метод лексикографической оптимизации

Решение.

Выбор варианта производимого товара.

Фирма может выпускать  продукцию одного из следующих шести видов: зонтики (3), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т), шляпы (Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнeгo сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето — дождливым, жарким или умеренным, и определяется табл. 3. Выбоp какого варианта производства будет оптимальным?

При отсутствии дополнительной информации о состояниях среды это задача выбора решения в условиях неопределенности, и ее решение возможно при принятии какой-либо гипотезы о поведении. Если принимающий решение имеет информацию о вероятностях наступления дождливого, жаркого и умеренного лета, то указанная задача становится задачей принятия решения в условиях риска. В рассматриваемом случае необходимая дополнительная информация может быть взята из статистических данных (наблюдений за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0, 2; 0, 5; 0, 3. Тогда получаем ЗПР в условиях риска, заданную табл. 4.

Таблица 3                                Таблица 4

	0,2	0,5	0,3
3	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
с	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60